Εύρεση βάσεων από τον πίνακα γραμμικού μετασχηματισμού

krex · #1

Όταν είναι γνωστός ο τύπος ενός γραμμικού μετασχηματισμού $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ και ο πίνακας του ως προς κάποιες βάσεις u,v

του $\mathbb{R}^n$ , χωρίς να γνωρίζουμε τα u,v

, πως βρίσκουμε τα διανύσματα αυτά?

krex · #2

Ξέρουμε ότι οι στήλες του πίνακα $A=[a_{ij]$ της

, είναι τα διανύσματα στήλες $Tu_i=a_{ij}v_j$ . Τα $a_{ij}$ είναι γνωστά. Επίσης από τον τύπο της

μπορούμε να βρούμε τα Te_i

, όπου τα

είναι τα διανύσματα της κανονικής βάσης. Μετά τι κάνουμε?
Προσπάθησα να γράψω τα διανύσματα

στην κανονική βάση του $\mathvv{R}^n$ και τα e_i

να γράψω στην βάση v_i

αλλά στο τέλος παίρνουμε πολλούς αγνώστους.

#3

Δεν είμαι σίγουρος αν κατάλαβα καλά την ερώτηση αλλά νομίζω πως δεν μπορείς να τα βρεις. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε πως ο

είναι ταυτοτικός και έστω ότι και ο

είναι ο ταυτοτικός πίνακας. Τότε δεν μπορούμε να εντοπίσουμε τις βάσεις. Αν πάρουμε οποιαδήποτε γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα $u_1,\ldots,u_n$ και πάρουμε v_i = u_i

για κάθε

τότε ο

είναι ο πίνακας του

ως προς αυτές τις βάσεις. Όμως έχουμε μεγάλη ελευθερία ως προς την επιλογή των u_i

.

krex · #4

Δεν ισχυει ομως οτι σε καθε γρμμικο μετασχηματισμο αντιστοιχει μονοσημαντα ενας πινακας και αντιστροφως?
Οποτε υποθετω οτι και οι βασεις στις οποιες ειναι εκφρασμενος ο πινακας πρεπει να ειναι μοναδικες.

Εχω τον εξης γραμμικο μετασχηματισμο: $T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ , T(x,y,z)=(x+y+z,x+2y-z,0)

. Ζητειται να βρεθουν καταλληλες βασεις u,v του $\mathbb{R}^3$ τετοιες ωστε ο πινακας του T ως προς βασεις αυτες να ειναι:

$A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$

Απο τον πινακα αυτο εχουμε: Tu_1=v_1

,

και

. Επισης

,

και

στην κανονικη βαση.

Παντως οταν μας δινονται οι βασεις u,v και ο πινακας Α τοτε μπορουμε να βρουμε τον τυπο του Τ.

#5

krex έγραψε:Δεν ισχυει ομως οτι σε καθε γρμμικο μετασχηματισμο αντιστοιχει μονοσημαντα ενας πινακας και αντιστροφως?
Οποτε υποθετω οτι και οι βασεις στις οποιες ειναι εκφρασμενος ο πινακας πρεπει να ειναι μοναδικες.

Σε κάθε γραμμικό μετασχηματισμό και κάθε επιλογή βάσεων αντιστοιχεί μονοσήμαντα ένας πίνακας. Μπορεί όμως ο ίδιος πίνακας να προκύψει από τον ίδιο μετασχηματισμό και με διαφορετική επιλογή βάσεων.

Στο ερώτημά σου τώρα, αυτό που θέλεις είναι να βρεις μια επιλογή βάσεων ώστε σε ο πίνακας του μετασχηματισμού

ως προς αυτές τις βάσεις να είναι ο

.

Αυτό που πρέπει να κάνεις είναι: Πρώτα παίρνεις τον πίνακα

του

ως προς κάποιες βάσεις. Π.χ. ως προς τις κανονικές βάσεις e_1,e_2,e_3

και

. Μετά μετατρέπεις τον

στον πίνακα

χρησιμοποιώντας μόνο στοιχειώδεις γραμμοπράξεις. Π.χ. πρόσθεση μιας στήλης σε κάποια άλλη, εναλλαγή δυο σειρών κ.τ.λ. Θα έχεις λοιπόν μια ακολουθία πινάκων $C_1=B,C_2,C_3,\ldots,C_n=A$ ώστε δυο διαδοχικοί πίνακες $C_k,C_{k+1}$ διαφέρουν μόνο κατά μια στοιχειώδη γραμμοπράξη.

Το μόνο που μένει να κάνεις μετά είναι αν γνωρίζεις δυο βάσεις ώστε ο C_k

να είναι ο πίνακας του

, να μπορείς να βρεις δυο βάσεις ώστε ο $C_{k+1}$ να είναι ο πίνακας του

.

Μετατρέψαμε τώρα το πρόβλημα σε ένα πιο απλό αφού οι δυο πίνακες που μας ενδιαφέρουν «δεν διαφέρουν πολύ».

Ως παράδειγμα δίνω ότι αν ο $C_{k+1}$ λαμβάνεται από τον C_k

προσθέτοντας την δεύτερη στήλη στην πρώτη και αν ο C_k

είναι ο πίνακας του

ως προς τις βάσεις $u_1,\ldots,u_n$ και $v_1,\ldots,v_n$ , τότε ο $C_{k+1}$ είναι ο πίνακας του

ως προς τις βάσεις $u_1+u_2,u_2,\ldots,u_n$ και $v_1,\ldots,v_n$ .

Για τα υπόλοιπα σε αφήνω να το ψάξεις και λίγο μόνος σου. Αν αυτά που έγραψα δεν είναι κατανοητά μας ξαναρωτάς.

krex · #6

Demetres, ευχαριστώ πολύ που βοηθάς!

Έκανα στοιχειώδεις πράξεις με τις στήλες και βρήκα τελικά ότι οι δυο βάσεις είναι: u_1=(-1,1,1)

,

και η κανονική του $\mathbb{R}^3$ .

Κάνοντας πράξεις με γραμμές του πίνακα πως αλλάζει η βάση?

Πάντως τελικά είναι πιο εύκολο να το κάνουμε κατευθείαν από τον τύπο του Τ. Εχουμε από τον πίνακα Α οτι Tu_1=v_1

κτλ. Παιρνω για v_i

την κανονικη βαση, v_i=e_i

, και γραφω το u_1

στην βαση

,

. Οπότε

.
Επιλέγω αυθαίρετα πχ. το x_3=0

, οπότε

ή

, οποτε

. Με τον ίδιο τρόπο βρίσκω και τα υπόλοιπα διανύσματα u.

Αν έπαιρνα για v_i

κάποια άλλη βάση και οχι την κανονική τότε θα έπρεπε πρώτα να γράψω το v_1

στην κανονική βάση και μετά να κάνω τα ίδια με τα προηγούμενα.

Πράγματι υπάρχουν πολλές διαφορετικές βάσεις u,v που ο πίνακας του Τ ειναι ο Α στις βάσεις αυτές.

Εύρεση βάσεων από τον πίνακα γραμμικού μετασχηματισμού

Εύρεση βάσεων από τον πίνακα γραμμικού μετασχηματισμού

Re: Εύρεση βάσεων από τον πίνακα γραμμικού μετασχηματισμού

Re: Εύρεση βάσεων από τον πίνακα γραμμικού μετασχηματισμού

Re: Εύρεση βάσεων από τον πίνακα γραμμικού μετασχηματισμού

Re: Εύρεση βάσεων από τον πίνακα γραμμικού μετασχηματισμού

Re: Εύρεση βάσεων από τον πίνακα γραμμικού μετασχηματισμού

Μέλη σε σύνδεση