Ανισότης

#1

Αν

με

να δείξετε ότι

$\displaystyle{ \frac{a(b+c)}{4-9bc}+\frac{b(c+a)}{4-9ca}+\frac{c(a+b)}{4-9ab}\ge 6abc }$

Πηγή: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=477237, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 2&t=477559

#2

socrates έγραψε:Αν με να δείξετε ότι

$\displaystyle{ \frac{a(b+c)}{4-9bc}+\frac{b(c+a)}{4-9ca}+\frac{c(a+b)}{4-9ab}\ge 6abc }$

Πηγή: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=477237

Socrates, στην παραπομπή που έχεις δώσει, δεν υπάρχει το

στο δεύτερο μέλος. Είναι τυπογραφικό;

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
socrates έγραψε:Αν με να δείξετε ότι

$\displaystyle{ \frac{a(b+c)}{4-9bc}+\frac{b(c+a)}{4-9ca}+\frac{c(a+b)}{4-9ab}\ge 6abc }$

Πηγή: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=477237

Socrates, στην παραπομπή που έχεις δώσει, δεν υπάρχει το στο δεύτερο μέλος. Είναι τυπογραφικό;

Είναι τυπογραφικό στον κώδικα (\6abc)...

#4

Με ταλαιπώρησε αρκετά μέχρι να την λύσω.

(Ίσως υπάρχει και πιο σύντωμη λύση)

Το πρώτο μέλος της αποδεικτέας ανισότητας γράφεται:

$=\frac{ab}{4-9bc}+\frac{ac}{4-9bc}+\frac{bc}{4-9ca}+\frac{ba}{4-9ca}+\frac{ca}{4-9ab}+\frac{cb}{4-9ab}=$

$=\frac{a^2b^2}{4ab-9ab^2c}+\frac{a^2c^2}{4ac-9abc^2}+\frac{b^2c^2}{4bc-9abc^2}+$

$+\frac{b^2a^2}{4ba-9bca^2}+\frac{c^2a^2}{4ca-9a^2bc}+\frac{c^2b^2}{4cb-acb^2}\geq$

$\geq \frac{(ab+ac+bc+ab+ac+bc)^2}{8ab+8ac+8bc-18abc}=$

$=\frac{2(ab+ac+bc)^2}{4ab+4ac+4bc-9abc}=$

$\frac{2a^2b^2c^2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{abc[4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-9]}$

Θέτω $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=k$

Tότε αρκεί να αποδείξω ότι:

$abc\frac{2k^2}{4k-9}\geq 6abc$ , $\rightarrow$ (ΣΧΕΣΗ 1)

Όμως $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\Rightarrow$

$\Rightarrow k\geq 9\Rightarrow 4k-9\geq 27>0\Rightarrow 4k-9>0$

Τώρα η σχέση (1) ισοδύναμα γράφεται: (δεδομένου ότι abc>0

)

$2k^{2}\geq 24k-54\Rightarrow k^{2}-12k+27\geq 0$ ,

(ΣΧΕΣΗ 2)

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι αριθμοί

και

Επειδή όμως $k\geq 9$ όπως ήδη έχουμε αποδείξει παραπάνω, βγαίνει το συμπέρασμα ότι η (ΣΧΕΣΗ 2) είναι αληθής και άρα έπεται το ζητούμενο.

Ανισότης

Ανισότης

Re: Ανισότης

Re: Ανισότης

Re: Ανισότης

Μέλη σε σύνδεση