Ελεγχος Ισοδυναμίας

dentart · #1

Εξετάστε αν ισχύει η ισοδυναμία: $\left(\forall x\in X \right)\left( \exists y \in X\right)P\Leftrightarrow \left(\exists x\in X \right)\left( \forall y\in X\right)P.$
(Aν γίνεται λίγο αναλυτικά)Ευχαριστώ..

#2

Είχε βάλει χθες ο Μπάμπης Στεργίου μια απάντηση η οποία νομίζω ήταν σωστή. Δεν ξέρω γιατί εξαφανίστηκε. Αν $X = \mathbb{R}$ και P(x,y)

είναι ο προτασιακός τύπος x < y

τότε:

H πρόταση $(\forall x \in X) (\exists y \in X) P(x,y)$ λέει ότι για κάθε πραγματικό αριθμό χ, υπάρχει πραγματικός αριθμός y που να είναι μεγαλύτερος του χ. Αυτή η πρόταση είναι σωστή. (Π.χ. μπορούμε να πάρουμε y = x+1

.)

H πρόταση $(\exists x \in X) (\forall y \in X) P(x,y)$ λέει ότι υπάρχει πραγματικός χ ο οποίος είναι μικρότερος από κάθε πραγματικό αριθμό y. Αυτή η πρόταση είναι λάθος. (Π.χ. ο χ δεν είναι μικρότερος του χ.)

Άρα δεν ισχύει πάντα η ισοδυναμία. Ελπίζω να βοήθησα.

[Για συγκεκριμένα X και P η ισοδυναμία μπορεί να ισχύει. Π.χ. αν $X = \mathbb{R}$ και P(x,y)

είναι ο προτασιακός τύπος 1=1

τότε η ισοδυναμία ισχύει.]

#3

Demetres έγραψε:Είχε βάλει χθες ο Μπάμπης Στεργίου μια απάντηση η οποία νομίζω ήταν σωστή. Δεν ξέρω γιατί εξαφανίστηκε. ...

Δημήτρη, όντως, εχθές ο Μπάμπης Στεργίου είχε δώσει μιά σωστή απάντηση, τήν οποία - δέν γνωρίζω τόν λόγο - διέγραψε ο ίδιος σήμερα τό πρωί.

Α.Κυριακόπουλος · #4

Δημήτρη, σωστά δεν ισχύει η ισοδυναμία. Ένα αντιπαράδειγμα που το έλεγα πριν πολλά χρόνια στους μαθητές μου, είναι το εξής:
Ονομάζουμε Α το σύνολο των ανθρώπων. Έχουμε:
• $\forall x \in A,\exists y \in A,$ (y μητέρα του x). Πρόταση αληθής.
• $\exists x \in A,\forall y \in A,$ (y μητέρα του x). Πρόταση ψευδής.

#5

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Δημήτρη, σωστά δεν ισχύει η ισοδυναμία. Ένα αντιπαράδειγμα που το έλεγα πριν πολλά χρόνια στους μαθητές μου, είναι το εξής:
Ονομάζουμε Α το σύνολο των ανθρώπων. Έχουμε:
• $\forall x \in A,\exists y \in A,$ (y μητέρα του x). Πρόταση αληθής.
• $\exists x \in A,\forall y \in A,$ (y μητέρα του x). Πρόταση ψευδής.

Αντώνη, νομίζω στο αντιπαράδειγμα υπάρχει ένα μικρό πρόβλημα με τον Αδάμ και την Εύα!

dentart · #6

Πολύ ωραίες οι απαντήσεις σας .Ευχαριστώ πολύ

#7

Demetres έγραψε:Είχε βάλει χθες ο Μπάμπης Στεργίου μια απάντηση η οποία νομίζω ήταν σωστή. Δεν ξέρω γιατί εξαφανίστηκε. Αν $X = \mathbb{R}$ και είναι ο προτασιακός τύπος τότε:

H πρόταση $(\forall x \in X) (\exists y \in X) P(x,y)$ λέει ότι για κάθε πραγματικό αριθμό χ, υπάρχει πραγματικός αριθμός y που να είναι μεγαλύτερος του χ. Αυτή η πρόταση είναι σωστή. (Π.χ. μπορούμε να πάρουμε .)

H πρόταση $(\exists x \in X) (\forall y \in X) P(x,y)$ λέει ότι υπάρχει πραγματικός χ ο οποίος είναι μικρότερος από κάθε πραγματικό αριθμό y. Αυτή η πρόταση είναι λάθος. (Π.χ. ο χ δεν είναι μικρότερος του χ.)

Άρα δεν ισχύει πάντα η ισοδυναμία. Ελπίζω να βοήθησα.

[Για συγκεκριμένα X και P η ισοδυναμία μπορεί να ισχύει. Π.χ. αν $X = \mathbb{R}$ και είναι ο προτασιακός τύπος τότε η ισοδυναμία ισχύει.]

Παιδιά, sorry !
Κάτι προσπαθούσα να συμπληρώσω, πάτησα κάτι λάθος ένα πλήκτρο , βγήκα από το μήνυμα και τελικά δεν το ξανακοίταξα.

Δημήτρη, ευχαριστώ πολύ που το ξαναέβαλες !

Μπάμπης

Ελεγχος Ισοδυναμίας

Ελεγχος Ισοδυναμίας

Re: Ελεγχος Ισοδυναμίας

Re: Ελεγχος Ισοδυναμίας

Re: Ελεγχος Ισοδυναμίας

Re: Ελεγχος Ισοδυναμίας

Re: Ελεγχος Ισοδυναμίας

Re: Ελεγχος Ισοδυναμίας

Μέλη σε σύνδεση