ζόρικη έλλειψη

miltos · #1

Έστω σημείο M(k,l)

που κινείται στην έλλειψη $C: \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$ .
Δείξτε ότι $|k+l|\leq 5$

Grigoris K. · #2

Καλησπέρα Μίλτο. Μία ιδέα:

Ισχύει $\displaystyle{ |k+l| \leq |k| + |l| }$ άρα αρκεί να δειχθεί ότι $\displaystyle{ |k| + |l| \leq 5 }$

Όμως $k^2 + 4l^2 = 20\Rightarrow |k| = \sqrt{20 - 4l^2}~~ \wedge~~ |l| \leq \sqrt{5}~(*)$

Άρα αρκεί να δειχθεί ότι $\displaystyle{\displaystyle{ |l| + \sqrt{20 - 4l^2} \leq 5 } \Leftarrow \sqrt{20-4l^2} \leq 5 -|l|\mathop \Leftarrow \limits^{(*)\Rightarrow 5 - |l| > 0} }$

$\displaystyle{ \Leftarrow 20 - 4l^2 \leq 25 - 10|l| + |l|^2 \Leftarrow 5(|l| -1)^2 \geq 0}}$ ,που ισχύει.

Η ισότητα ισχύει όταν (l,k) = (1,4),(-1,-4)

.

NBalfa · #3

για την ακρίβεια ειναι $\sqrt{5} - |l|$ και όχι 5 - |l|

, αν δεν κανω λάθος, αλλα πάλι βγαινει γιατι βγαζει διακρινουσα (Δ) αρνητική και είσαι εντάξει

βγαινει και αλλιώς αν πας με τον κύκλο με ακτίνα 5 και (δεις μετα για τα σημεία τομής)
ακυρο δεν εχει σημεια τομης (μπερδευτηκα)
λες οτι η αποσταση απο το "Ο" του σημειου αυτου ειναι μικροτερη απο την απόλυτη τιμή και μετα κανες μια συγκριση με τον κυκλο

#4

miltos έγραψε:Έστω σημείο που κινείται στην έλλειψη $C: \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$ .
Δείξτε ότι $|k+l|\leq 5$

Καταρχάς, ας παρατηρήσουμε ότι η άσκηση, στην ουσία της, δεν έχει καμία σχέση με έλλειψη.

Ζητείται να αποδειχθεί, ότι $\displaystyle{|x+y|\leq 5,}$ όταν ισχύει $\displaystyle{\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1.}$

Είναι απλή εφαρμογή της ανισότητας Cauchy-Schwarz:

$\displaystyle{1=\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}\geq \frac{(x+y)^2}{25},}$

άρα

$\displaystyle{(x+y)^2\leq 25 \Rightarrow |x+y|\leq 5.}$

miltos · #5

Πολύ ωραίες λύσεις

Ναι όντως δεν έχει σχέση με την έλλειψη //

ζόρικη έλλειψη

ζόρικη έλλειψη

Re: ζόρικη έλλειψη

Re: ζόρικη έλλειψη

Re: ζόρικη έλλειψη

Re: ζόρικη έλλειψη

Μέλη σε σύνδεση