Υπάρχει;

#1

Υπάρχει συνάρτηση $f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}$ με την ιδιότητα Darboux και $f(f(x))=f(x)-e^x,\ \forall x \in \Bbb{R}$ ;

#2

H

είναι 1-1 και Darboux οπότε είναι γν. μονότονη (δείτε π.χ. εδώ.)

Επομένως, υπάρχουν τα όρια στα $\pm \infty.$

Από f(x)=f(f(x))+e^x

η

είναι γν. αύξουσα.

Αν $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(x)\in \Bbb{R}}$ τότε $\displaystyle{\lim_{x\to \infty} f(f(x))=-\infty}$ άτοπο αφού η $f\circ f$ είναι γν. αύξουσα.

Άρα $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty.}$

Επίσης, $\displaystyle{f(f(x))=f(x)-e^x\leq f(x)\implies f(x)<x \implies \lim_{x\to - \infty}f(x)=-\infty. }$

Είναι $\displaystyle{f(f(x))=f(x)-e^x<f(x)-e^{f(x)}\leq -1,}$ άτοπο αφού $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(f(x))=\infty.}$

Υπάρχει;

Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Μέλη σε σύνδεση