IMC 1997/2/2

#1

Έστω

αντιστρέψιμος $2n \times 2n$ πίνακας ώστε σε μπλοκ μορφή να έχουμε τις αναπαραστάσεις $\displaystyle{ M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}}$ και $\displaystyle{ M^{-1} = \begin{bmatrix} E & F \\ G & H \end{bmatrix}}$ . Να δειχθεί ότι $\det(M)\det(H) = \det(A)$ .

#2

Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{M{M^{ - 1}} = {I_{2n}} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} A & B \\ C & D \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} E & F \\ G & H \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_n}} & {{O_n}} \\ {{O_n}} & {{I_n}} \\ \end{array}} \right]\Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AE + BG = {I_n} = CF + DH} \\ {CE + DG = {O_n} = AF + BH} \\ \end{array}} \right\}.}$

Επομένως, είναι:

$\displaystyle{\det \left( M \right)\det \left( H \right) = \det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} A & B \\ C & D \\ \end{array}} \right] \cdot \det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_n}} & F \\ {{O_n}} & H \\ \end{array}} \right] = }$

$\displaystyle{ = \det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} A & B \\ C & D \\ \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_n}} & F \\ {{O_n}} & H \\ \end{array}} \right]} \right) = \det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} A & {AF + BH} \\ C & {CF + DH} \\ \end{array}} \right] = }$

$\displaystyle{ = \det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{O_n}} \\ C & {{I_n}} \\ \end{array}} \right] = \det \left( A \right)}$

και το ζητούμενο δείχθηκε.

IMC 1997/2/2

IMC 1997/2/2

Re: IMC 1997/2/2

Μέλη σε σύνδεση