Όμορφο θέμα Ολυμπιάδας

themiskant · #1

Έστω τρίγωνο ABC

και η διχοτόμος

που τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο

. Αν ο κύκλος με διάμετρο τη

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο

,να αποδειχθεί ότι η

είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου ABC

.

Grigoris K. · #2

Καλησπέρα Θέμη. Μία ιδέα:

Έστω AF'

η συμμετροδιάμεσος με $F' \in (ABC)$ και

η διάμεσος.

Από το αρμονικό $\displaystyle{ FBAC }$ προκύπτει $\displaystyle{ \frac{F'C}{AC} = \frac{BF'}{AB}~(1) }$

Επίσης είναι προφανές ότι $\displaystyle{ \triangle ABF' \sim \triangle AMC \Rightarrow \frac{MC}{BF'} = \frac{AM}{AB} ~(2)}$

Από (1), (2)

λαμβάνουμε $\displaystyle{ \frac{F'C}{AC} = \frac{MC}{AM} }$ και επίσης είναι $\displaystyle{ \widehat{MCF} = \widehat{MAC} }$

Κατά συνέπεια ισχύει $\displaystyle{ \triangle F'MC \sim \triangle AMC \Rightarrow \widehat{AMB} = \widehat{DMF'} }$

Όμως είναι $\displaystyle{ \widehat{DE~F'} = \hat C + \widehat{BAF'} = \hat C + \widehat{MAC} = \widehat{AMB} = \widehat{DMF'} }$

Τελικά το DMEF'

είναι εγγράψιμο σε κύκλο με

διάμετρο (αφού $EM \perp BC$ ) άρα είναι $\displaystyle{ F' \equiv F }$ και το ζητούμενο εδείχθη.

Antonis_Z · #3

Καλησπέρα.Βρήκα κάτι διαφορετικό.
Το μέσο

της

είναι προφανώς το δεύτερο σημείο τομής του κύκλου με διάμετρο

και της

(αφού $EM\perp BC$ ).Έστω $P\equiv AE\cap FM$ και ονομάζω

την ευθεία που περνάει από τα F,E

.
Επίσης $S\equiv BC\cap AF$ .
Είναι: $\angle DEM=DFM$ (1)
$\angle DEM=90-ADB=90-A/2-C=\frac{B-C}{2}$ (2)
$\angle AFD=90-AFB-BFe=90-C-BCE=90-C-A/2=\frac{B-C}{2}$ (3)
Από (1),(2),(3) προκύπτει: $\angle AFD=DFM$ ,άρα η

είναι διχοτόμος της γωνίας AFM

.
Μπορούμε τώρα να εργαστούμε με τους ακόλουθους 2 τρόπους.
1ος τρόπος: $\angle AFB=C$
$\angle MFC=MFE-CFE=90-DFM-CFE=90-\frac{B-C}{2}-A/2=C$ .
Άρα $\angle AFB=MFC$ και από αυτό συμπεραίνουμε ότι η

είναι συμμετροδιάμεσος τπυ τριγώνου BFC

εφόσον η

είναι διάμεσος.Από τη συμμετροδιάμεσο έχουμε ότι οι εφαπτομένες του μεγάλου κύκλου στα B,C

τέμνονται επί της

.Από αυτό έπεται ότι η

είναι συμμετροδιάμεσος του ABC

.
2ος τρόπος:Αφού $EF\perp DF$ λόγω της διχοτόμου

έχουμε ότι η δέσμη F.ADPE

είναι αρμονική.Επομένως η σημειοσειρά A,D,P,E

είναι αρμονική.Άρα η δέσμη M.ADPE

είναι αρμονική και επειδή $EM\perp BC$ έχουμε ότι η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\angle AMP=AMF$ .Το σημείο

τώρα είναι το έκκεντρο του τριγώνου AFM

,άρα η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\angle FAM$ .Το ζητούμενο τώρα είναι προφανές.

Όμορφο θέμα Ολυμπιάδας

Όμορφο θέμα Ολυμπιάδας

Re: Όμορφο θέμα Ολυμπιάδας

Re: Όμορφο θέμα Ολυμπιάδας

Μέλη σε σύνδεση