Διοφαντική x^2+y^2-axy+2=0---------------->Bulletin

#1

Μία όμορφη διοφαντική που είχα λύσει πέρισυ και τη μοιράζομαι μαζί σας.

Δίνεται η εξίσωση x^2+y^2-axy+2=0

όπου

θετική ακέραια παράμετρος. Να αποδείξετε ότι:

(i) Για $a\neq 4$ , δεν υπάρχουν ζεύγη θετικών ακεραίων (x,y)

που είναι λύσεις της εξίσωσης (1)

.
(ii) Για a=4

, υπάρχουν άπειρα ζεύγη θετικών ακεραίων (x,y)

που είναι λύσεις της εξίσωσης (1)

, τα οποία να προσδιορίσετε.

Αλέξανδρος

Ilias_Zad · #2

2 hints.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ilias_Zad · #3

Mετα απο συζητηση με τον Αλεξανδρο βαζω αναλυτικα την λυση μου στο θεμα.
(i)Αν a διαφορο του 4 τοτε προφανως x διαφορο του y. Θεωρω την τυχαια λυση (x_0,y_0)

και λογω συμμετριας εστω x_0>y_0

. Ομως τοτε απο vietta παρατηρουμε οτι λυση της εξισωσης μας αποτελει και η (x_1,y_1)=(ay_0-x_0,x_0).

Πραγματι,

και

, αφου,

ομως απο την (1) παρατηρουμε οτι ,
$(ay_0-x_0)x_0=y_0^2+2 \leq (x_0-1)^2+2 <x_0^2 => ay_0-x_0 <x_0$ , αφου $x_0>y_0\geq1$
Eτσι προκυπτει μια απειρη γνησιως φθινουσα ακολουθια θετικων ακεραιων σε ζευγη, λυσεων της εξισωσης (x_0,y_0),(x_1,y_1),..

πραγμα προφανως αδυνατο.
(ii)με a=4

,

προφανης λυση (x_0,y_0)=(1,1)

εστω τυχαια λυση ( x_1,y_1), x_1>y_1

, τοτε λυση και η (x_2,y_2)=(4x_1-y_1,x_1)

.
προφανως y_2=x_1>y_1

,
και

αρα βρισκουμε ετσι μια απειρη γνησιως αυξουσα ακολουθια ζευγων (x_0,y_0),..,(x_k,y_k)..

που αποτελεουν λυσεις της εξισωσης μας και δινονται απο το συστημα,
$x_{n+1}=4x_n-y_n$
$y_{n+1}=x_n$
δηλαδη,
$x_{n+2}=4x_{n+1}-x_n$
$y_{n+1}=x_n$
x_0=1, x_1=3

(ευκολο να βρεθει)
Και λυνοντας το συστημα (ανω σκελος αναδρομικη 2ας ταξεως) βρισκουμε,
$x_n=\frac{3+\sqrt{3}}{6}(2+\sqrt{3})^n+\frac{3-\sqrt{3}}{6}(2-\sqrt{3})^n$
Τελος παρατηρουμε οτι με την τυχαια λυση (x_1,y_1), x_1>y_1,

που επιλεξαμε αρχικα λυση αποτελει και η (x'_2,y'_2)=(y_1,4y_1-x_1)

η οποια ειναι μικροτερη της αρχικης (x_1>x'_2, y_1> y'_2)

. Oποτε μετα απο πεπερασμενο αριθμο βηματων θα καταληξουμε σε λυση με y=1 πραγμα που μας οδηγει στο συμπερασμα οτι ολες οι λυσεις προκυπτουν απο την (x_0,y_0)=(1,1)

και τον μετασχηματισμο (x_n,y_n)=(y_n,4y_n-x_n)

. Aρα οι

ικανοποιουν την αναδρομικη $x_{n+2}=4x_{n+1}-x_n$ η οποια ομως ειναι ιδια με αυτην που ειχαμε καταληξει και παραπανω και μας οδηγει προφανως στην ιδια απειρια λυσεων.

Καλο καλοκαιρι!

#4

Αν δεν κάνω λάθος είναι η άσκηση από τον περσινό εσωτερικό διαγωνισμό...
Η μέθοδος αντιμεώπισης είναι αυτή που έκανε ο Ηλίας παραπάνω.

Διοφαντική x^2+y^2-axy+2=0---------------->Bulletin

Διοφαντική x^2+y^2-axy+2=0---------------->Bulletin

Re: Διοφαντική x^2+y^2-axy+2=0

Re: Διοφαντική x^2+y^2-axy+2=0

Re: Διοφαντική x^2+y^2-axy+2=0

Μέλη σε σύνδεση