Από "Mathematical Reflections"

[vittasko]

ΠΡΟΤΑΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΉΣ 3. - Δίνται ισοσκελές τρίγωνο με εγεγραμμένο σε κύκλο και έστω το αντιδιαμετρικό σημείο του Επί των πλευρών ορίζουμε τα σημεία αντιστοίχως, ώστε να είναι Αποδείξτε ότι

Απόδειξη. - Έστω , ο κύκλος με κέντρο το και ακτίνα ο οποίος εφάπτεται προφανώς των

Πολικές - Πρόταση εφαρμογής 3 - Απόδειξη από τον Κώστα Ρεκούμη.

f=112_t=25962(h).PNG (18 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές

Η ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο , γιατί συνδέει το = το σημείο επαφής της εφαπτομένης του κύκλου από το και είναι κάθετη επί την = την ευθεία που συνδέει το με το κέντρο του

Επειδή τώρα, η ευθεία αυτή περνάει από το σημείο προκύπτει ότι και η Πολική ευθεία του ως προς τον κύκλο περνάει από το

Άρα, η που συνδέει το = το σημείο επαφής της εφαπτομένης του από το με το σημείο ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του ως προς τον

Το ζητούμενο τώρα έπεται, γιατί η ευθεία αυτή είναι κάθετη επί την = την ευθεία που συνδέει το με το κέντρο του κύκλου

Επισημαίνεται ότι η Πρόταση εφαρμογής 3 είναι παραλλαγή της εκφώνησης του προβλήματος που έχει τεθεί Εδώ και η απόδειξη ως άνω, είναι μία αναλυτική μεταγραφή αυτής που εμπνεύστηκε ο Κώστας Ρεκούμης (rek2).

Κώστας Βήττας.

[vittasko]

ΠΡΟΤΑΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ 4. - Δίνεται τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω τα σημεία και και . Φέρνουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου από τα σημεία και έστω τα σημεία επαφής τους αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι .

Πολικές - Πρόταση εφαρμογής 4.

f=112_t=25962(k).PNG (39.19 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

Απόδειξη. - Η ευθεία που συνδέει το με το ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του ως προς τον κύκλο , είναι κάθετη επί την όπου είναι το κέντρο του και περνάει από το σημείο

Ομοίως, η ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του ως προς τον είναι κάθετη επί την και περνάει από το σημείο και έστω τα σημεία και

Από το ορθογώνιο τρίγωνο και έχουμε

Από το ορθογώνιο τρίγωνο και έχουμε

Από

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο έχουμε και

Από

H τώρα, είναι η Πολική ευθεία του σημείου ως προς το κύκλο γιατί οι Πολικές ευθείες των σημείων ως προς τον περνάνε από το σημείο και άρα, ισχύει και έστω το σημείο

Από εγγράψιμo τετράπλευραo έχουμε

Από εγγράψιμο τετράπλευρο έχουμε

Από και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. (10:49μμ) - Πριν από λίγο ο Κώστας Ρεκούμης (rek2) μου έστειλε με προσωπικό μύνημα μία κομψή και πολύ πιο σύντομη απόδειξη για την Πρόταση εφαρμογής 4.

Πολικές - Πρόταση εφαρμογής 4 - Απόδειξη από τον Κώστα Ρεκούμη.

f=112_t=25962(ka).PNG (23.77 KiB) Προβλήθηκε 294 φορές

Αφού έχει αποδειχθεί ότι λόγω της ως της Πολικής ευθείας του ως προς τον

από το ορθογώνιο τρίγωνο και έχουμε όπου είναι η ακτίνα του κύκλου

Στο τρίγωνο τώρα, σύμφωνα με το γενικευμένο Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε



Από και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστα, σ' ευχαριστώ θερμά για το ενδιαφέρον σου και την όμορφη λύση που μας έδωσες.

[vittasko]

Ας δούμε τώρα ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα που σχετίζεται με τις Πολικές και αφορά στο γνωστό ως Αρμονικό τετράπλευρο.

ΠΡΟΤΑΣΗ 5. - Δίνεται κύκλος και σημείο στο εξωτερικό του. Έστω τα σημεία επαφής των εφαπτομένων του από το σημείο και τα σημεία τομής του , από τυχούσα ευθεία δια του το σημείο μεταξύ των Αποδέιξτε ότι .

Πολικές - Πρόταση 5 - Αρμονικό τετράπλευρο.

f=112_t=25962(m).PNG (15.61 KiB) Προβλήθηκε 293 φορές

Απόδειξη. - Από όμοια τρίγωνα έχουμε

Από όμοια τρίγωνα έχουμε

Από και και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Το εγγεγραμμένο τετράπλευρο στο οποίο αποδείχθηκε ότι είναι ίσα τα γινόμενα των απέναντι πλευρών του, ονομάζεται Αρμονικό τετράπλευρο.

Έχει αποδειχθεί στα προηγούμενα ότι το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου στα σημεία ανήκει στην ευθεία

Πολικές - Πρόταση 5 - Συζυγείς ευθείες, οι διαγώνιες Αρμονικού τετραπλεύρου.

f=112_t=25962(ma).PNG (18.12 KiB) Προβλήθηκε 285 φορές

Δηλαδή, κάθε διαγώνια του Αρμονικού τετραπλεύρου, περνάει από τον Πόλο της άλλης και άρα, οι διαγώνιες είναι Συζυγείς ευθείες ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο και οι Πόλοι τους είναι Συζυγή σημεία = ο κύκλος με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα σημεία αυτά, τέμνει ορθογώνια τον περιγεγραμμένο κύκλο , ως προς τον ίδιο κύκλο.

Σε κάθε Αρμονικό τετράπλευρο ισχύει το ακόλουθο αποτέλεσμα :

Η δέσμη που ορίζεται με κορυφή τυχόν σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου Αρμονικού τετραπλεύρου και ακτίνες τις ευθείες που συνδέουν αυτό το σημείο με τις κορυφές του, είναι Αρμονική.

Πολικές - Πρόταση 5 - Αρμονική δέσμη λόγω Αρμονικού τετραπλεύρου.

f=112_t=25962(mb).PNG (19.95 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές

Πράγματι, εάν είναι έστω, τυχόν σημείο του τόξου που δεν περιέχει τα σημεία οι δέσμες και έχουν ίσες τις γωνίες που σχηματίζονται από τις ομόλογες ακτίνες τους και και .

Επειδή τώρα, η δέσμη είναι Αρμονική γιατί η σημειοσειρά είναι Αρμονική, όπου συμπεραίνεται ότι και η δέσμη είναι Αρμονική.

Αποδεικνύεται εύκολα και το αντίστροφο :

Το τετράπλευρο που ορίζεται από τα σημεία τομής των ακτίνων Αρμονικής δέσμης, από τυχόντα κύκλο που περνάει από την κορυφή της, είναι Αρμονικό.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Κλείνοντας την συνοπτική αυτή παρουσίαση με στοιχειώδη μέσα, των βασικών αποτελεσμάτων που αφορούν στην έννοια της Πολικής ευθείας σημείου ως προς δοσμένο κύκλο, ας σημειωθεί ότι η Πολική ευθεία σημείου που ανήκει στον δοσμένο κύκλο, ταυτίζεται με την εφαπτομένη του στο ίδιο σημείο ( εύκολο, αν δούμε πως μεταβάλλεται η Πολική ευθεία μεταβλητού σημείου, επί ευθείας που περνάει από το κέντρο του δοσμένου κύκλου ).

Η Πολική ευθεία του κέντρου του κύκλου, ταυτίζεται κατά εκδοχή, με την ευθεία του επιπέδου σε άπειρη απόσταση.

Θα βάλω ίσως αργότερα μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα, με επιλεγμένες προτάσεις που έχω υπόψη μου από την βιβλιογραφία, όπου οι αποδείξεις τους είναι βασισμένες στη θεωρία των Πολικών.