Ανισότητα

#1

Δίνεται η συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ με $f(x)=e^x(\cos x+\sin x),$ για κάθε $\displaystyle{x\in \left[0,\frac{\pi}{4}\right].$
Να δείξετε ότι $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}f(x)dx \int_0^{\frac{\pi}{4}}f(-x)dx>\frac{1}{4}.$

#2

Φανερά είναι f(x)>0

όταν $x\in [0,{\pi}/4]$ και $\displaystyle{ f( - x) = e^{ - x} [\cos ( - x) + \sin ( - x)] = e^{ - x} (\cos x - \sin x) = \sqrt 2 e^{ - x} \cos (x + \frac{\pi }{4}) \ge 0,\forall x \in [0,\frac{\pi }{4}] }$
(Είναι $\displaystyle{ 0 \le x \le \frac{\pi }{4} \Rightarrow \frac{\pi }{4} \le x + \frac{\pi }{4} \le \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos (x + \frac{\pi }{4}) \ge 0 }$ )
Λαμβάνοντας τώρα τη συνεχή μορφή της Cauchy-Schwarz, έχω:
$\displaystyle{ \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f( - x)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\sqrt {f(x)} } \right)^2 dx} \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\sqrt {f( - x)} } \right)^2 dx} \ge \left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {f(x)f( - x)} } dx} \right)^2 }$
ή
$\displaystyle{ \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\sqrt {f(x)} } \right)^2 dx} \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\sqrt {f( - x)} } \right)^2 dx} \ge \left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {\cos ^2 x - \sin ^2 x} } dx} \right)^2 = \left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {\cos 2x} } dx} \right)^2 }$
Όμως
$\displaystyle{ 1 \ge \sqrt {\cos 2x} \ge \cos 2x\ge 0,\forall x\in [0,\frac{\pi}{4}] }$
Επομένως:
$\displaystyle{ \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {\cos 2x} dx} > \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2xdx} > 0 \Rightarrow \left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {\cos 2x} dx} } \right)^2 > \left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2xdx} } \right)^2 }$

Τελικά:
$\displaystyle{ \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f( - x)dx} \ge \left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {\cos 2x} dx} } \right)^2 > \left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2xdx} } \right)^2 = \frac{1}{4} }$

#3

...μία άποψη βλέποντας και την λύση του Χρήστου...με απλό υπολογισμό

Είναι $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( {{e}^{x}}\cos x+{{e}^{x}}\sin x \right)dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\left( {{e}^{x}}\sin x \right)}^{\prime }}dx}=\left[ {{e}^{x}}\sin x \right]_{0}^{\frac{\pi }{4}}={{e}^{\frac{\pi }{4}}}\frac{\sqrt{2}}{2}$

Και ακόμη

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f(-x)dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( {{e}^{-x}}\cos x-{{e}^{-x}}\sin x \right)dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\left( {{e}^{-x}}\sin x \right)}^{\prime }}dx}=\left[ {{e}^{-x}}\sin x \right]_{0}^{\frac{\pi }{4}}={{e}^{-\frac{\pi }{4}}}\frac{\sqrt{2}}{2}$

άρα

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f(x)dx}\displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f(-x)dx}$ = ${{e}^{\frac{\pi }{4}}}\frac{\sqrt{2}}{2}{{e}^{-\frac{\pi }{4}}}\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}>\frac{1}{4}$

...κάνω κάπου λάθος...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση