Δεν παραγοντοποιείται

irakleios · #1

Να δειχθεί ,χωρίς τη χρήση του κριτηρίου του Eisenstein , ότι το πολυώνυμο P(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

δεν παραγοντοποιείται στο σώμα των ρητών .

alex_eske · #2

Aν $z=e^{\frac{2\pi i}{5}$ τότε P(x)=(x-z)(x-z^2)(x-z^3)(x-z^4)

. Το

δεν έχει ρίζα στο $\mathbb{R}$ αρα αν παραγοντοποιείται στο $\mathbb{Q}$ , θα γράφεται ως γινόμενο δυο δευτεροβάθμιων. Έστω ότι αυτό γίνεται. Τότε υπάρχουν $i < j \in \{1,2,3,4\}:(x-z^i)(x-z^j) \in \mathbb{Q}[x]$ . Άρα $z^i+z^j \in \mathbb{Q}$ και $z^{i+j} \in \mathbb{Q}$ . Αυτό όμως, γίνεται ανν 5 / i+j

, δηλαδή είτε i=1, j=4

είτε

. Όμως τότε $z^i+z^j \in \{2cos(\frac{2\pi}{5}),2cos(\frac{4\pi}{5})\}$ . Άρα, δίχως βλάβη, $a=cos(\frac{2\pi}{5}) \in \mathbb{Q}$ . Όμως P(z)=0

άρα $z^{-2}+z^{-1}+1+z+z^2=0$ . Αλλά $z^{-2}+z^2=2cos(\frac{4\pi}{5})=4a^2-2$ , δηλαδή 4a^2+2a-1=0

. Άρα, λύνοντας την τελευταία $a \notin \mathbb{Q}$ .

Δεν παραγοντοποιείται

Δεν παραγοντοποιείται

Re: Δεν παραγοντοποιείται

Μέλη σε σύνδεση