Λύστε την!

Ch.Chortis · #1

Δίνεται θετικός ακέραιος

και μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί x,y

, τέτοιοι ώστε:
x^2+y=2n

Να υπολογιστεί συναρτήσει του

, η μέγιστη δυνατή τιμή της παράστασης:
$\Lambda= n^2(x+y^2)+x^2(n+4y)+ny^2x^2$
Θα παρακαλούσα οποιοδήποτε ενδιαφερόμενο,να βοηθήσει για ένα θέμα που με έχει ταλαιωρήσει εδώ και εβδομάδες.
Μάλλον πανεύκολο θα είναι και εγώ απλά ο ανίκανος να βρει το κόλπο.
Οποιος μπορεί να μου λύσει πάντως,το γόρδιο δεσμό,του είμαι ευγνώμων.

freyia · #2

Μήπως υπάρχει κάποιο λάθος στην άσκηση; Μοιάζει να μην μπορεί να λυθεί. Δηλαδή, δεν μπορούμε νομίζω να βρούμε την μέγιστη τιμή της

. Εκτός και άμα δεν είναι με σχολική ύλη.

Ch.Chortis · #3

Καλησπέρα.
Δε ξέρω τι τέχνασμα χρειάζεται,αλλά λύνεται με σχολική ύλη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

chrislg · #4

το

είναι σίγουρα θετικός ;
άκυρο

chrislg · #5

${x}^{2}=2n-y\geq 0\Rightarrow y\leq 2n$
και
${x}^{2}+y=2n\Rightarrow y=2n-{x}^{2}\geq 0\Rightarrow x\leq \sqrt{2n}$

ελπίζω να βοήθησα ...

sokratis lyras · #6

chrislg έγραψε: ${x}^{2}=2n-y\geq 0\Rightarrow y\leq 2n$
και
${x}^{2}+y=2n\Rightarrow y=2n-{x}^{2}\geq 0\Rightarrow x\leq \sqrt{2n}$

ελπίζω να βοήθησα ...

Ο συλλογισμός είναι λάθος..έχεις βρεί τη μέγιστη τιμή των 2 μεταβλητών χωρίς αυτές να πιάνονται ταυτόχρονα.

chrislg · #7

sokratis lyras έγραψε:
chrislg έγραψε: ${x}^{2}=2n-y\geq 0\Rightarrow y\leq 2n$
και
${x}^{2}+y=2n\Rightarrow y=2n-{x}^{2}\geq 0\Rightarrow x\leq \sqrt{2n}$

ελπίζω να βοήθησα ...
Ο συλλογισμός είναι λάθος..έχεις βρεί τη μέγιστη τιμή των 2 μεταβλητών χωρίς αυτές να πιάνονται ταυτόχρονα.

βασικα σκεφτηκα να χρησιμοποιησω μια απο τις δυο ανισοτητες και στην συνεχεια να προκυψει τριωνυμο (που έχει ομως θετικούς συντελεστές

)

krex · #8

@Ch.Chortis που την βρήκες την άσκηση?

Ch.Chortis · #9

krex έγραψε:@Ch.Chortis που την βρήκες την άσκηση?

Δε θυμάμαι.Μπαίνω σε τόσες ιστοσελίδες καθημερινά,που ξεχνάω που "βρίσκονται" οι ασκήσεις.
Εξάλλου,η άσκηση πρέπει να εμφανίστηκε τον Ιανουάριο,αν κρίνω από τις σημειώσεις μου.Οπότε,θέλει πολύ ψάξιμο.

krex · #10

Μήπως ζητάει να βρούμε το ελάχιστο?

Αυτό βγαίνει πολύ εύκολα.

$y=2n-x^2\geq 0$

Για y=0: $x^2=2n\Leftrightarrow x=\sqrt{2n}$

$\Lambda=n^2 (x + y^2) + x^2 (n + 4 y) + n y^2 x^2\geq n^2 x+n x^2=n^2(\sqrt{2n}+2)$

Ch.Chortis · #11

krex έγραψε:Μήπως ζητάει να βρούμε το ελάχιστο?

Όχι.Δεν πειράζει,καλά έκανες και το ρώτησες.
Αυτός ο υπολογισμός(του ελαχίστου) είναι "σχετικά" πιο εύκολος,πράγματι.
Αν κάποιος έχει τίποτα στο νου του,ας το ρίξει(να κάνει και έναν έλεγχο πριν).
Όλα τα προβλήματα έχουν λύση!
Και είμαι σίγουρος οτι θα το λύσουμε.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

batmsup1 · #12

Μια προσέγγιση είναι να τη δεις ως τριώνυμο ως προς κάποια μεταβλητή. Μια άλλη είναι να αντικαταστήσεις το y και μια τρίτη είναι με πολλαπλασιαστές Lagrange (υπο συνθήκη ακρότατα με συνθήκη ισότητα εν προκειμένω) που ανήκει στα πανεπιστημιακά. Οι ιδέες αυτές έχουν αρκετές πράξεις, μάλλον κάποια παρατήρηση χρειάζεται που θα οδηγεί σε σύντομη λύση. Καλό είναι να κρατάς το link των ασκήσεων.

krex · #13

batmsup1 έγραψε:Μια προσέγγιση είναι να τη δεις ως τριώνυμο ως προς κάποια μεταβλητή. Μια άλλη είναι να αντικαταστήσεις το y και μια τρίτη είναι με πολλαπλασιαστές Lagrange (υπο συνθήκη ακρότατα με συνθήκη ισότητα εν προκειμένω) που ανήκει στα πανεπιστημιακά. Οι ιδέες αυτές έχουν αρκετές πράξεις, μάλλον κάποια παρατήρηση χρειάζεται που θα οδηγεί σε σύντομη λύση. Καλό είναι να κρατάς το link των ασκήσεων.

Αντικαθιστώντας το y=2n-x^2

στην Λ παίρνουμε ένα πολυώνυμο 6ου βαθμού, κάτι που δεν βοηθάει και πολύ την κατάσταση.
Με τους πολλαπλασιαστές Lagrange καταλήγουμε σε ενα σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων, οπότε και πάλι, δεν μας βοηθάει αυτό.

batmsup1 · #14

Γι αυτό γράφω προσέγγιση. Δεν τις έκανα στο χαρτί, μόνο νοητικά. Με Lagrange πιθανότατα να βγαίνει αλλά θέλει πράξεις, ας είναι μη γραμμικό το σύστημα.

freyia · #15

krex έγραψε:Μήπως ζητάει να βρούμε το ελάχιστο?
Αυτό βγαίνει πολύ εύκολα.

$y=2n-x^2\geq 0$

Για y=0: $x^2=2n\Leftrightarrow x=\sqrt{2n}$

$\Lambda=n^2 (x + y^2) + x^2 (n + 4 y) + n y^2 x^2\geq n^2 x+n x^2=n^2(\sqrt{2n}+2)$

Δεν μου φαίνεται να είναι αυτό το ελάχιστο.

Επίσης πιστεύω ότι η άσκηση αυτή δεν μπορεί να λυθεί. (Με όσα ξέρουμε από το Λύκειο)

Αμα κάποιος έχει την λύσει, ας μας την γράψει για να μας φύγει η περιέργεια.

krex · #16

Η άσκηση μάλλον δεν λύνεται αναλυτικά, μόνο με αριθμιτικές μεθόδους.

Η ελάχιστη τιμή είναι αυτή που έγραψα, απλά στην τελευταία ισότητα, για να είναι πιο ξεκάθαρο, θέλει $\geq$ .

freyia · #17

krex έγραψε:Η άσκηση μάλλον δεν λύνεται αναλυτικά, μόνο με αριθμιτικές μεθόδους.

Η ελάχιστη τιμή είναι αυτή που έγραψα, απλά στην τελευταία ισότητα, για να είναι πιο ξεκάθαρο, θέλει $\geq$ .

ΝΑΙ ΕΚΑΝΑ ΛΑΘΟΣ ΣΤΙΣ ΠΡΑΞΕΙΣ. . Αυτό το οποίο βρείκες, είναι το ελάχιστο.

parmenides51 · #18

Ch.Chortis έγραψε:Δίνεται θετικός ακέραιος και μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί , τέτοιοι ώστε:
Να υπολογιστεί συναρτήσει του , η μέγιστη δυνατή τιμή της παράστασης:
$\Lambda= n^2(x+y^2)+x^2(n+4y)+ny^2x^2$ .

Με σταθερό το $\displaystyle{n}$ λύνουμε την συνθήκη ως προς $\displaystyle{y}$ και έχουμε $\displaystyle{y=2n-x^2}$ και αντικαθιστούμε στην δοθείσα παράσταση οπότε

$\displaystyle{\Lambda= n^2\left(x+(2n-x^2)^2\right)+x^2\left(n+4(2n-x^2)\right)+n(2n-x^2)^2x^2}$
$\displaystyle{\Lambda= n^2(x+4n^2-4nx^2+x^4)+x^2(n+8n-4x^2)+n(4n^2-4nx^2+x^4)x^2}$
$\displaystyle{\Lambda=n^2x+4n^4-4n^3x^2+n^2x^4+9nx^2+8n-4x^4+4n^3x^2-4n^2x^4+nx^6}$
$\displaystyle{\Lambda=nx^6-(3n^2+4)x^4+9nx^2+n^2x+(4n^4+8n)}$

θέτω $\displaystyle{f(x)=nx^6-(3n^2+4)x^4+9nx^2+n^2x+(4n^4+8n)}$ με $\displaystyle{0\le x\le \sqrt{2n}}$

Δοκίμασα με παραγώγους αλλά πολλές οι πράξεις και δεν φαινόταν να οδηγεί κάπου

edit
Δεν δοκιμάζεις να το λύσεις για μερικές μικρές τιμές του $\displaystyle{n}$ μήπως και γενικεύεται? (πχ. για $\displaystyle{n=4, n=5, n=6 }$ )

#19

Kαλημέρα.

Ασχολήθηκα από την πρώτη στιγμή και εγώ με το θέμα του φίλου μας Ch.chortis, και αφού δεν οδηγούσε κάπου, έβαλλα την τιμή $\displaystyle{n=1}$ στην παράσταση που γράφει και ο parmenides και ούτε με παραγώγους μπόρεσα να βρώ το μέγιστο. Το μόνο που βρέθηκε (αν θυμάμαι καλά) είναι η ύπαρξη μεγίστου, με θέση διαφορετική από τα άκρα του πεδίου ορισμού.

Θεωρώ ότι δεν αντιμετωπίζεται με ύλη σχολική.

Ch.Chortis · #20

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Θεωρώ ότι δεν αντιμετωπίζεται με ύλη σχολική.

freyia έγραψε:Πιστεύω ότι η άσκηση αυτή δεν μπορεί να λυθεί. (Με όσα ξέρουμε από το Λύκειο)

Αν πιστεύουν όλοι όσοι ασχολήθηκαν οτι πρέπει να "μετακινηθεί" σε άλλο φάκελο,αφού δε γίνεται να βγάλουμε κάποιο αποτέλεσμα με Λυκειακές γνώσεις,ας είναι...
ΥΓ:Parmenides,δε το δοκίμασα αυτό που λες,αλλά και πάλι,πολλές μου φαίνονται οι πράξεις(και δεν οδηγούν πουθενά,πάνω από όλα).

Λύστε την!

Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Re: Λύστε την!

Μέλη σε σύνδεση