Ανισότητα σε τρίγωνο

themiskant · #1

Έστω τρίγωνο ABC

και εσωτερικό του σημείο

. Αν οι

τέμνουν αντίστοιχα τις BC,CA,AB

στα

να αποδειχθεί ότι $\frac{OA}{OD}\cdot\frac{OB}{OE}+\frac{OB}{OE}\cdot\frac{OC}{OZ}+\frac{OC}{OZ}\cdot\frac{OA}{OD}\geq 2\left(\frac{OA}{OD}+\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{OZ} \right)$

#2

Θέτουμε $\displaystyle{x = \left( {OBC} \right)}$ , $\displaystyle{y = \left( {OCA} \right)}$ και $\displaystyle{z = \left( {OAB} \right)}$ . Τότε, είναι

$\displaystyle{\frac{{OA}}{{OD}} = \frac{{y + z}}{x},}$

$\displaystyle{\frac{{OB}}{{OE}} = \frac{{z + x}}{y},}$

$\displaystyle{\frac{{OA}}{{OD}} = \frac{{x +y}}{z}}$

και η αποδεικτέα ανισότητα γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{\frac{{y + z}}{x} \cdot \frac{{z + x}}{y} + \frac{{z + x}}{y} \cdot \frac{{x + y}}{z} + \frac{{x + y}}{z} \cdot \frac{{y + z}}{x} \ge 2\left( {\frac{{y + z}}{x} + \frac{{z + x}}{y} + \frac{{x + y}}{z}} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow z\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) + x\left( {z + x} \right)\left( {x + y} \right) + y\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right) \ge 2yz\left( {y + z} \right) + 2zx\left( {z + x} \right) + 2xy\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3xyz \ge yz\left( {y + z} \right) + zx\left( {z + x} \right) + xy\left( {x + y} \right).}$

Η τελευταία ανισότητα είναι η γνωστή ανισότητα Schur, οπότε το ζητούμενο έπεται.

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{x = y = z}$ , δηλαδή αν και μόνο αν το $\displaystyle{O}$ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ .

themiskant · #3

Η δική μου αντιμετώπιση στην άσκηση:
Είναι γνωστό ότι $\frac{OA}{OD}=\frac{AZ}{ZB}+\frac{AE}{EC}$ , $\frac{OB}{OE}=\frac{BZ}{ZA}+\frac{BD}{DC}$ , $\frac{OC}{OZ}=\frac{CE}{EA}+\frac{CD}{DB}$

Οπότε αρκεί να αποδειχθεί

$\frac{AZ}{ZB}\cdot \frac{BD}{DC}+\frac{AE}{EC}\cdot \frac{BD}{DC}+\frac{AE}{EC}\cdot \frac{BZ}{ZA}+\frac{BD}{CD}\cdot \frac{EC}{AE}+\frac{BZ}{ZA}\cdot \frac{EC}{AE}+\frac{BZ}{ZA}\cdot \frac{DC}{BD}+\frac{EC}{AE}\cdot \frac{AZ}{ZB}+\frac{DC}{BD}\cdot \frac{AZ}{ZB}+\frac{AE}{EC}\cdot \frac{DC}{BD}+3\geq 2(\frac{AZ}{ZB}+\frac{AE}{EC}+\frac{BZ}{ZA}+\frac{BD}{DC}+\frac{EC}{AE}+\frac{DC}{BD})$

Αν $\frac{BD}{DC}=x, \frac{EC}{AE}=y ,\frac{AZ}{ZB}=\omega$ τότε από το θεώρημα Ceva είναι $xy\omega =1$

και άρα αρκεί να αποδειχθεί ότι $\frac{x }{y}+\frac{y}{\omega }+\frac{\omega }{x }+3\geq x+y+\omega +\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{\omega }$

Θέτοντας $x=\frac{a}{b}, y=\frac{b}{c}, \omega =\frac{c}{a}$ αρκεί να αποδειχθεί ότι

$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{ac}{b^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$ ,

η οποία καταλήγει στην $(ac)^{3}+(ba)^{3}+(bc)^{3}+3a^{2}b^{2}c^{2}\geq a^{3}bc(b+c)+b^{3}ca(c+a)+c^{3}ab(a+b)$ ,που ισχύει αφού είναι η ανισότητα Schur

Ανισότητα σε τρίγωνο

Ανισότητα σε τρίγωνο

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση