ζόρικες έλλειψεις

miltos · #1

Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των καμπύλων.
$C_{1}:x^2+4y^2=4$ και $C_{2}:4x^2+y^2=4$
Να αποδείξετε οτι αποτελούν πλευρές τετραγώνου.

Γιώργος Απόκης · #2

miltos έγραψε:Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των καμπύλων.
$C_{1}:x^2+4y^2=4$ και $C_{2}:4x^2+y^2=4$
Να αποδείξετε οτι αποτελούν πλευρές τετραγώνου.

Οι ελλείψεις προφανώς δεν έχουν κοινές κατακόρυφες ή οριζόντιες εφαπτόμενες. Έστω $(\epsilon):y=ax+b,~a\ne 0$ μια κοινή εφαπτομένη.

Τότε το σύστημα της ευθείας με καθεμιά από τις ελλείψεις θα έχει μοναδική λύση.

Για την έλλειψη x^2+4y^2=4

, με αντικατάσταση, έχουμε:

$x^2+4(ax+b)^2=4\Leftrightarrow (1+4a^2)x^2+8abx+4b^2-4=0$ . H εξίσωση έχει μοναδική λύση αν και μόνο αν $\Delta_1=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 64a^2b^2-4(1+4a^2)(4b^2-4)=0\Leftrightarrow 16+64a^2-16b^2=0\Leftrightarrow 4a^2-b^2=-1$ (1).

Oμοίως, καταλήγουμε στην εξίσωση : (4+a^2)x^2+2abx+b^2-4=0

και $\Delta_2=0\Leftrightarrow a^2-b^2=-4$ (2).

Mε αφαίρεση των (1), (2) κατά μέλη, έχουμε : $3a^2=3\Leftrightarrow a^2=1$ και με αντικατάσταση : b^2=5

. Άρα, έχουν τέσσερις κοινές εφαπτόμενες:

$(\epsilon_1):y=x+\sqrt{5},~(\epsilon_2):y=x-\sqrt{5},~(\epsilon_3):y=-x+\sqrt{5},~(\epsilon_4):y=-x-\sqrt{5}$ .

Εύκολα προκύπτει ότι οι εφαπτόμενες τέμνονται ανά δύο στα σημεία : $(\sqrt{5},0),~(-\sqrt{5},0),~(0,\sqrt{5}),~(0,-\sqrt{5})$ που είναι

κορυφές τετραγώνου, αφού οι διαγώνιοί του είναι κάθετες, ίσες και διχοτομούνται.

ζόρικες έλλειψεις

ζόρικες έλλειψεις

Re: ζόρικες έλλειψεις

Μέλη σε σύνδεση