Συναρτήσεις 21

Γιώργος Κ77 · #1

Έστω συνάρτηση $f : [0,1] \rightarrow R$ τέτοια, ώστε f(f(x))<f(x)

, για κάθε $x \in [0,1]$ .

Να αποδείξετε ότι η

δεν είναι συνεχής.

Ιστοσελίδα · #2

Αφού

για κάθε $x\in [0,1]$ και το D_f=[0,1]

, θα είναι $0\leq f(x)\leq 1$ για κάθε $x\in [0,1]$ .

Αν η

είναι συνεχής στο [0,1]

θα έχει σταθερό σημείο, δηλαδή θα υπάρχει $a\in [0,1]$ τέτοιο ώστε f(a)=a .

Τότε $f(f(a))<f(a) \Rightarrow f(a)<f(a)$ άτοπο.

Άρα η

δεν είναι συνεχής.

Ιστοσελίδα · #3

Υποθέτουμε ότι η

είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [0,1].

Τότε η

θα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή και $f([0,1])=[m,M]\subseteq [0,1] .$

Έστω $x_1\in [0,1]$ ώστε f(x_1)=m.

Τότε $f(f(x_1))<f(x_1) \Rightarrow f(m)<m$ άτοπο, αφού

είναι η ελάχιστη τιμή της f .

Άρα η

δεν είναι συνεχής.

Γιώργος Κ77 · #4

Καλημέρα Στράτη. Τη δεύτερη απόδειξη είχα και εγώ στο μυαλό μου.

Peri2005 · #5

stranton έγραψε: Τρί Ιουν 05, 2012 10:57 am Υποθέτουμε ότι η είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα

Τότε η θα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή και $f([0,1])=[m,M]\subseteq [0,1] .$

Έστω $x_1\in [0,1]$ ώστε

Τότε $f(f(x_1))<f(x_1) \Rightarrow f(m)<m$ άτοπο, αφού είναι η ελάχιστη τιμή της

Άρα η δεν είναι συνεχής.

Γιατί το διάστημα [m, M] είναι υποσύνολο του [0,1] ;

panagiotis iliopoulos · #6

Για να ορίζεται η σύνθεση fof

πρέπει $x\epsilon [0,1]$ και $f(x)\epsilon [0,1]$ . Άρα $[m,M]\subseteq [0,1]$ .
Πολύ ωραίο θέμα. Συγχαρητήρια στον θεματοδότη.

#7

Peri2005 έγραψε: Τρί Νοέμ 12, 2019 6:41 pm
stranton έγραψε: Τρί Ιουν 05, 2012 10:57 am Υποθέτουμε ότι η είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα

Τότε η θα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή και $f([0,1])=[m,M]\subseteq [0,1] .$

Έστω $x_1\in [0,1]$ ώστε

Τότε $f(f(x_1))<f(x_1) \Rightarrow f(m)<m$ άτοπο, αφού είναι η ελάχιστη τιμή της

Άρα η δεν είναι συνεχής.
Γιατί το διάστημα [m, M] είναι υποσύνολο του [0,1] ;

H αρχική ερώτηση έχει ένα κενό σην διατύπωση: Εφόσον γράφουμε f(f(x))

πρέπει να γνωρίζουμε ότι το f(x)

είναι στο πεδίο ορισμού της

, δηλαδή το [0,1]

. O θεματοθέτης το παρέλειψε (κακώς βέβαια) αλλά μπορούμε να το υποθέσουμε από τα συμφραζόμενα. Έτσι, μέσα στις υποθέσεις μας (πρέπει να) είναι $f(\mathbb R) \subseteq [0,1]$ , που απαντά στο ερώτημά σου.

Ιστοσελίδα · #8

Μια συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση f(f(x))<f(x)

για κάθε $x\in[0,1]$ είναι η

$f(x)=\begin{cases} x^2 \; , \; x\in(0,1) \\ \frac{1}{2} \; , \; x\in\{0,1\} \end{cases}$ . Τότε $f(f(x))=\begin{cases} x^4 \; , \; x\in(0,1) \\ \frac{1}{4} \; , \; x\in\{0,1\} \end{cases}$ .

Παρατηρούμε ότι στο ανοικτό διάστημα (0,1)

υπάρχει συνεχής συνάρτηση που ικανοποιεί τη συνθήκη.

Όμοια συμβαίνει αν έχουμε f(f(x))>f(x)

για κάθε $x\in[0,1]$ .

Παίρνουμε $f(x)=\begin{cases} \sqrt{x} \; , \; x\in(0,1) \\ \frac{1}{4} \; , \; x\in\{0,1\} \end{cases}$ και $f(f(x))=\begin{cases} \sqrt[4]{x} \; , \; x\in(0,1) \\ \frac{1}{2} \; , \; x\in\{0,1\} \end{cases}$ .

Συναρτήσεις 21

Συναρτήσεις 21

Re: Συναρτήσεις 21

Re: Συναρτήσεις 21

Re: Συναρτήσεις 21

Re: Συναρτήσεις 21

Re: Συναρτήσεις 21

Re: Συναρτήσεις 21

Re: Συναρτήσεις 21

Μέλη σε σύνδεση