συναρτησιακή με παραγωγο

algal · #1

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ τέτοιες ώστε:
f(x)+f{'}(x)=f(x+1)

για κάθε

πραγματικό.

!Δεν έχω λύση γι` αυτό και δεν ξέρω καν αν λύνεται. Συνάντησα αυτή τη σχέση ως ενδιάμεσο αποτέλεσμα για άλλη άσκηση και επειδή δεν έχω καταλήξει κάπου σίγουρα ζητώ ταπεινά τη βοήθεια του κοινού.
Παρόμοια εδώ: viewtopic.php?f=53&t=27285

vasilis.volos.13 · #2

Παραθέτω μια λύση αν και δεν είμαι σίγουρος για την ορθότητά της

Από ότι ορίζει η ζητούμενη σχέση η

είναι παραγωγίσιμη και συνεχής στο $\mathbb{R}$

άρα μπορώ να εφαρμόσω Θ.Μ.Τ στο [x,x+1]

για την

δηλαδή θα υπάρχει $x_0 \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle f{'}(x_0)=\frac{f(x+1)-f(x)}{x+1-x} =f(x+1)-f(x)=a$

Οπότε θα ισχύει $f{'}(x)=a ,\forall x \in \mathbb{R}$ οπότε $f(x)=ax+b , x \in \mathbb{R}$

#3

εδώ και εδώ

#4

Τελικά υπάρχουν και άλλες λύσεις εκτός από τις γραμμικές.

Έστω ότι έχουμε οποιαδήποτε απείρως παραγωγίσιμη συνάρτηση $g:[0,1] \to \mathbb{R}$ η οποία ικανοποιεί $g^{(k)}(0) + g^{(k+1)}(0) = g^{(k)}(1)$ για κάθε φυσικό

. [Όπου στα άκρα οι παραγώγοι ορίζονται μόνο από αριστερά και από δεξιά ανάλογα.]

Ο περιορισμός στο [0,1]

κάθε λύσης της συναρτησιακής πρέπει απαραίτητα να ικανοποιεί την πιο πάνω συνθήκη. Ισχυρίζομαι ότι κάθε συνάρτηση

που ικανοποιεί την πιο πάνω συνθήκη, μπορεί να επεκταθεί κατά μοναδικό τρόπο σε όλο το $\mathbb{R}$ σε μια συνάρτηση

ώστε να ικανοποιεί την συναρτησιακή.

Στο [0,1]

ορίζουμε ασφαλώς f(x) = g(x)

Στο

υπάρχει μοναδικός τρόπος να επεκταθεί αφού πρέπει να οριστεί ως f(x) = g'(x-1) + g(x-1)

. Για να συνεχίσουμε την επέκταση στο [2,3]

και διαδοχικά κατά παρόμοιο τρόπο σε όλο το $[0,+\infty)$ αρκεί να ελέγξουμε δυο πράγματα
(α) $f^{(k)}(1) + f^{(k+1)}(1) = f^{(k)}(2)$ και
(β) Η

είναι καλώς ορισμένη στο 1 και τα όρια όλων των παραγώγων της από αριστερά ισούνται με τα όρια όλων των παραγώγων από δεξιά.
Και τα δύο ζητούμενα είναι άμεσα:
(α) Για κάθε φυσικό

έχουμε $\displaystyle{f^{(k)}(1) + f^{(k+1)}(1) = g^{(k)}(0) + g^{(k+1)}(0) + g^{(k+1)}(0)+ g^{(k+2)}(0) = g^{(k)}(1) + g^{(k+1)}(1) = f^{(k)}(2)}$ .
(β) Στο [0,1]

έχουμε ορίσει f(1) = g(1)

και στο

έχουμε ορίσει f(1) = g'(0) + g(0) = g(1)

οπότε είναι καλώς ορισμένη. Ομοίως στο [0,1]

από αριστερά έχουμε $f^{(k)}(1) = g^{(k)}(1)$ ενώ στο [1,2]

από δεξιά έχουμε $f^{(k)}(1) = g^{(k+1)}(0) + g^{(k)}(0) = g^{(k)}(1)$ οπότε πάλι είμαστε εντάξει.
Οπότε η διαδικασιά μπορεί να συνεχιστεί για να επεκταθεί η

σε σε όλο το $[0,+\infty)$ .

Στο [-1,0]

θέλουμε η

να ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση f(x) + f'(x) = g(x+1)

με

. Λύνοντας την διαφορική βρίσκουμε $\displaystyle{ f(x) = e^{-x}\left(g(0) - \int_x^0 e^tg(t+1) \, dt\right).}$ Τώρα έχουμε f'(x) = g(x+1) - f(x)

στο

και άρα από αριστερά έχουμε f'(0) = g(1) - f(0) = g(1) - g(0) = g'(0)

. Παραγωγίζοντας έχουμε f''(x) = g'(x+1) - f'(x)

και άρα πάλι από αριστερά έχουμε f''(0) = g'(1) - f'(0) = g'(1) - g'(0) = g''(0)

και επαγωγικά οι παράγωγοι από αριστερά στο μηδέν ταυτίζονται με αυτές από δεξιά. Τώρα πάλι μπορούμε να συνεχίσουμε την επέκταση στο [-2,-1]

κ.τ.λ. Η ταύτιση των παραγώγων στο

θα έπεται αν δείξουμε ότι στο [-1,0]

ισχύει ότι $f^{(k)}(-1) + f^{(k+1)}(-1) = f^{(k)}(0)$ . Αυτό όμως είναι άμεσο από την σχέση f(x) + f'(x) = g(x+1)

και την ταύτιση των παραγώγων στο

. Οπότε επαγωγικά μπορούμε να επεκτίνουμε και στο $(-\infty,1]$ και βάζοντας τις δυο επεκτάσεις μαζί ο ισχυρισμός έχει αποδειχθεί.

Έχουμε λοιπόν δείξει ότι υπάρχει 1-1 αντιστοιχία μεταξύ των λύσεων της συναρτησιακής εξίσωσης και των συναρτήσεων που ικανοποιούν την πιο πάνω συνθήκη. Προφανώς οι γραμμικές συναρτήσεις ικανοποιούνν την συνθήκη και επεκτείνονται σε γραμμικές συναρτήσεις. Υπάρχουν όμως και άλλες. Τέτοιες μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας τα λεγόμενα bump functions. Δεν έχω ψάξει για πιο απλή κατασκευή.

algal · #5

Για να πάρουμε ως λύσεις τις γραμμικές συναρτήσεις ποιές επιπρόσθετες συνθήκες πρέπει να ισχύουν?

nikoszan · #6

Αν δοθεί π.χ. ότι επιπλέον υπάρχει το $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f'\left( x \right)$ .
Ν.Ζ.

chrislg · #7

algal έγραψε:

Με αφορμή τη σχέση (1)

υπάρχει συγκεκριμένη κατηγοριά διαφορικών εξισώσεων(με έναν γενικό τύπο ,όπως στην περίπτωση των υπεργεωμετρικών εξισώσεων) που έχουν ως λύση τις bump functions ?

συναρτησιακή με παραγωγο

συναρτησιακή με παραγωγο

Re: συναρτησιακή με παραγωγο

Re: συναρτησιακή με παραγωγο

Re: συναρτησιακή με παραγωγο

Re: συναρτησιακή με παραγωγο

Re: συναρτησιακή με παραγωγο

Re: συναρτησιακή με παραγωγο

Μέλη σε σύνδεση