μεσημεριανό ολοκλήρωμα 51

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

$\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{2n}{t}\pi}|x\sin\ tx|\ dx$ , όπου

θετικός ακέραιος και

θετικός πραγματικός αριθμός.

stavros11 · #2

Αποσύρω λόγω λάθους!

#3

Είναι:
$\displaystyle{\int\limits_0^{\frac{{2n\pi }}{t}} {x\left| {\sin (nx)} \right|} dx}$
Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής: u=nx

έχουμε πως το ολοκλήρωμα είναι ίσο με:
$\displaystyle{\frac{1}{{{t^2}}}\int\limits_0^{2n\pi } {u\left| {\sin (u)} \right|} du}$

Τώρα, μπορώ να πως πως το ολοκλήρωμα γράφεται:
$\displaystyle{\frac{1}{{{t^2}}}\left[ {\sum\limits_{k = 1}^n {\int\limits_{(2n - 2)\pi }^{(2n - 1)\pi } {u\sin u} du + \sum\limits_{l = 1}^n {\int\limits_{(2n - 1)\pi }^{2n\pi } {u( - \sin u} )du} } } \right]}$

Τώρα εύκολα:
$\displaystyle{\begin{array}{l} \int\limits_{(2n - 2)\pi }^{(2n - 1)\pi } {u\sin u} du = \left[ { - u\cos u} \right]_{(2n - 2)\pi }^{(2n - 1)\pi } + \int\limits_{(2n - 2)\pi }^{(2n - 1)\pi } {\cos u} du = (4n - 3)\pi \\ \int\limits_{(2n - 1)\pi }^{2n\pi } {u( - \sin u} )du = \left[ {u\cos u} \right]_{(2n - 1)\pi }^{2n\pi } - \int\limits_{(2n - 1)\pi }^{2n\pi } {\cos u} du = (4n - 1)\pi \end{array}}$

Τελικά είναι:
$\displaystyle{\frac{\pi }{{{t^2}}}\left[ {\sum\limits_{k = 1}^n {(4n - 3} ) + \sum\limits_{l = 1}^n {(4n - 1)} } \right] = \frac{ {{4{n^2} } \pi }}{{{t^2}}}}$

mathxl · #4

Σταύρε στην λύση σου υπάρχει πρόβλημα στην 1η σειρά για το πρόσημο. Για παράδειγμα, αν $\displaystyle{n = 4k + 3,k \in N}$ τότε $\displaystyle{tx \in [0,4k\pi + 3\pi ]}$ και για $\displaystyle{tx = 4k\pi + \frac{{3\pi }}{2}}$ είναι $\displaystyle{x\sin (tx) < 0}$ .
Η άσκηση είναι από 2012 Osaka Prefecture University /Science, 2nd exam δημοσιευμένη από τον Kunny στο aops

μεσημεριανό ολοκλήρωμα 51

μεσημεριανό ολοκλήρωμα 51

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 51

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 51

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 51

Μέλη σε σύνδεση