συναρτησιακή Hosszu

chrislg · #1

να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση : $f(x \, \wedge \, y) + f(x \, \vee\, y)=f(x) + f(y)$ με $f:R\rightarrow R$

#2

chrislg έγραψε:να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση : $f(x \, and \, y) + f(x \, or\, y)=f(x) + f(y)$ με $f:R\rightarrow R$

Δε καταλαβαίνω τι σημαίνει

$\displaystyle{x~and~ y}$ και $\displaystyle{x~or~ y}$ όταν $\displaystyle{x,y\in \mathbb{R}.}$

chrislg · #3

or (λογικός ή boolean τελεστής ή) and ( τελεστής και) διόρθωσα το post μου με τους συνηθέστερους συμβολισμούς

#4

chrislg έγραψε:or (λογικός ή boolean τελεστής ή) and ( τελεστής και) διόρθωσα το post μου με τους συνηθέστερους συμβολισμούς

Αυτό το φαντάστηκα. Τι σημαίνει όμως π.χ. $\displaystyle{2\wedge 5}$ και τι $\displaystyle{-\frac{\pi}{8}\vee \sqrt{88}}$ ;

chrislg · #5

εδώ δεν υπάρχει ακριβώς η χρήση της μαθηματικής λογικής για αυτό δουλεύουμε με την αντικατάσταση του Birkhoff
δηλαδή $x \wedge y = xy$ και $x \vee y = x+y-xy$

Alex1994 · #6

Έστω

η πρόταση

.
Από τις P(xy,z)

και

, αν τις αφαιρέσουμε κατά μέλη και κάνουμε αντικατάσταση έχουμε: f(xy+z-xyz)+f(x+y-xy)=f(x+yz-xyz)+f(y+z-yz)

.
Θέτουμε $z=\frac{1}{y}$ και έχουμε $f(xy-x+\frac{1}{y})+f(x+y-xy)=f(1)+f(y+\frac{1}{y}-1)$ .
Για κάθε a,b

πραγματικούς υπάρχουν x,y

ώστε $a=xy+\frac{1}{y}-x$ , b=x+y-xy

και $a+b=y+\frac{1}{y}$ . (θεωρούμε διακρίνουσα στην εξίσωση που αντιστοιχεί στο σύστημα)
Άρα η εξίσωση γίνεται f(a)+f(b)=f(1)+f(a+b-1)

.
Θέτω

και έχω

.
Θέτω

και έχω

βάζω

και έχω

.
Άρα η εξίσωση γίνεται g(a)+g(b)=g(a+b)

,δηλαδή είναι λύση της εξίσωσης Cauchy. Άρα η

είναι της μορφής f(x)=g(x)+f(0)

, όπου

μια συνάρτηση Cauchy.

(μια λεπτομέρεια που είχα ξεχάσει να γράψω: αρχικά δείχνουμε ότι έχουμε g(a+b)=g(a)+g(b)

,με

,μετά η επέκταση γίνεται ως εξής: g(x+y+z)=g(x+y)+g(z)=g(x+z)+g(y)=g(x)+g(y)+g(z)

άρα

,όπου έχω επιλέξει z>0

ώστε

και

)

#7

viewtopic.php?p=100440#p100440

συναρτησιακή Hosszu

συναρτησιακή Hosszu

Re: συναρτησιακή Hosszu

Re: συναρτησιακή Hosszu

Re: συναρτησιακή Hosszu

Re: συναρτησιακή Hosszu

Re: συναρτησιακή Hosszu

Re: συναρτησιακή Hosszu

Μέλη σε σύνδεση