Μιγαδικοί!

#1

Οι μιγαδικοί αριθμοί $z_{1} , z_{2}, ,z_{3}$ είναι τέτοιοι ώστε $\mid z_{1}\mid=\mid z_{2}\mid=\mid z_{3}\mid=1$ και $\displaystyle \frac{z^2_{1}}{z_{2}z_{3}}+\frac{z^2_{2}}{z_{3}z_{1}}+\frac{z^2_{3}}{z_{1}z_{2}}+1=0.$
Ποιες οι δυνατές τιμές του $\mid z_{1}+z_{2}+z_{3}|;$

Πηγή: http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=21&t=2752&start=0

dennys · #2

Η δοσμένη σχέση γίνεται ${z_1}^3+{z_2}^3+{z_3}^3+z_1z_2z_3=0 (1)$

Αποδεικνύεται ότι (εύκολα) ${z_1}^3+{z_2}^3+{z_3}^3-3z_1z_2z_3=(z_1+z_2+z_3)[(z_1+z_2+z_3)^2-3(z_1z_2+z_2z_3+z_1z_3)], (2)$

Απο τίς (1) και (2) έχουμε $:-4z_1z_2z_3=(z_1+z_2+z_3)^3-3(z_1+z_2+z_3)(z_1z_2+z_2z_3+z_1z_3)\Rightarrow$

$-4z_1z_2z_3=(z_1+z_2+z_3)^3-3(z_1+z_2+z_3)(\cfrac{\bar{z_1}+\bar{z_2}+\bar{z_3}}{\bar{{(z_1z_2z_3)}}})$ απο το |z_i|=1,i=1,2,3

με λίγες πράξεις χιαστί και μετράροντας τις ισότητες έχουμε |3|z_1+z_2+z_3|^2-4|=|z_1+z_2+z_3|^3

και θέτοντας |z_1+z_2+z_3|=x

έχουμε $|3x^2-4|=x^3\Rightarrow x=1,x=2$ δηλαδή |z_1+z_2+z_3|=1 or 2

φιλικά dennys

chrislg · #3

αυτή η άσκηση είναι και στο βιβλίο του Andreescu , complex numbers from A to Z

pito · #4

dennys έγραψε:Η δοσμένη σχέση γίνεται ${z_1}^3+{z_2}^3+{z_3}^3+z_1z_2z_3=0 (1)$

Αποδεικνύεται ότι (εύκολα) ${z_1}^3+{z_2}^3+{z_3}^3-3z_1z_2z_3=(z_1+z_2+z_3)[(z_1+z_2+z_3)^2-3(z_1z_2+z_2z_3+z_1z_3)], (2)$

Απο τίς (1) και (2) έχουμε $:-4z_1z_2z_3=(z_1+z_2+z_3)^3-3(z_1+z_2+z_3)(z_1z_2+z_2z_3+z_1z_3)\Rightarrow$

$-4z_1z_2z_3=(z_1+z_2+z_3)^3-3(z_1+z_2+z_3)(\cfrac{\bar{z_1}+\bar{z_2}+\bar{z_3}}{\bar{{(z_1z_2z_3)}}})$ απο το

με λίγες πράξεις χιαστί και μετράροντας τις ισότητες έχουμε

και θέτοντας

έχουμε $|3x^2-4|=x^3\Rightarrow x=1,x=2$ δηλαδή

φιλικά dennys

dennys , δεν θα το σκεφτόμουνα ούτε με σφαίρες!
Αναρωτιέμαι αν υπάρχει πιο εύκολη προσέγγιση

#5

Παρόμοια είναι και η λύση που έχω στη διαθεσή μου.

Μιγαδικοί!

Μιγαδικοί!

Re: Μιγαδικοί!

Re: Μιγαδικοί!

Re: Μιγαδικοί!

Re: Μιγαδικοί!

Μέλη σε σύνδεση