ΡΙΖΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

ykerasar · #1

Προλεγόμενα: Ένα πολύ ενδιαφέρον κομμάτι του Διαφορικού Λογισμού είναι οι "ρίζες πολυωνύμων". Δίνουμε ένα κλασικό παράδειγμα:

Η εκφώνηση
Το πολυώνυμο
$\displaystyle{f\left( x \right) = x^3 + px + q}$
με $\displaystyle{p,q \in R}$
έχει όλες τις ρίζες του πραγματικές, τότε και μόνο τότε, αν

$\displaystyle{\Delta = \frac{{p^3 }}{{27}} + \frac{{q^2 }}{4} < 0}$

Με το κλείσιμο του θέματος θα δώσουμε θα δώσουμε την πηγή απ' όπου την πήραμε

Με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης

chrislg · #2

μια λύση χωρίς την χρήση διαφορικού λογισμού:
στην γενικότερη περίπτωση η $a{x}^{3}+b{x}^{2}+c{x}+d=0$ (1) έχει διακρίνουσα κατά Cardano $D=18abcd-4{b}^{3}d+{b}^{2}{c}^{2}-4{c}^{3}{a}-27{a}^{2}{d}^{2}$
Η (1) έχει τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες αν D>0

με βάση την οποία καταλήγουμε,στην περίπτωσή μας,στο ζητούμενο

apotin · #3

Για το ευθύ

Αν $\displaystyle{p=0}$ και $\displaystyle{q \ne 0}$ τότε $\displaystyle{f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} = - q}$ που δεν έχει όλες τις ρίζες πραγματικές

Αν $\displaystyle{q=0}$ και $\displaystyle{p \ne 0}$ τότε $\displaystyle{f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\, \vee \,\,{x^2} + p = 0}$ και για να έχει η $\displaystyle{{x^2} + p = 0}$ πραγματικές ρίζες πρέπει $\displaystyle{p<0}$ , οπότε ισχύει $\displaystyle{\Delta < 0}$

Αν $\displaystyle{p=q=0}$ τότε $\displaystyle{f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 0}$ που έχει πραγματικές ρίζες αλλά δεν ισχύει η $\displaystyle{\Delta < 0}$

Για $\displaystyle{p \cdot q \ne 0}$

Έστω ότι η $\displaystyle{f\left( x \right) = {x^3} + px + q}$ έχει τρείς πραγματικές ρίζες $\displaystyle{{x_1},\,{x_2},\,{x_3}}$ με $\displaystyle{{x_1} < {x_2} < {x_3}}$ .

Τότε γνωρίζουμε ότι η $\displaystyle{f'\left( x \right) = 3{x^2} + p}$ θα έχει δύο ρίζες $\displaystyle{a, b}$ με $\displaystyle{{x_1} < a < {x_2} < b < {x_3}}$ .

Για να συμβεί αυτό πρέπει να ισχύει $\displaystyle{p<0}$ .

H $\displaystyle{f}$ στις θέσεις $\displaystyle{a, b}$ θα παρουσιάζει τοπικά ακρότατα (μέγιστο/ελάχιστο) και υποχρεωτικά θα ισχύει $\displaystyle{f(a)f(b)<0}$ ---> (1)

Αλλά $\displaystyle{f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt { - \frac{p}{3}} }$ οπότε $\displaystyle{a = -b = - \sqrt { - \frac{p}{3}} }$

Επίσης $\displaystyle{f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow 3{a^2} + p = 0 \Leftrightarrow p = - 3{a^2}}$

Τότε η (1) γίνεται:

$\displaystyle{f\left( a \right)f\left( b \right) < 0 \Leftrightarrow f\left( a \right)f\left( { - a} \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {{a^3} + pa + q} \right)\left( { - {a^3} - pa + q} \right) < 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left( {{a^3} - 3{a^3} + q} \right)\left( { - {a^3} + 3{a^3} + q} \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {q - 2{a^3}} \right)\left( {q + 2{a^3}} \right) < 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{q^2} - 4{a^6} < 0 \Leftrightarrow {q^2} - 4{\left( {\sqrt { - \frac{p}{3}} } \right)^6} < 0 \Leftrightarrow \frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{27}} < 0}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

apotin · #4

Για το αντίστροφο

Με $\displaystyle{p \cdot q \ne 0}$

Έστω ότι ισχύει $\displaystyle{\Delta < 0}$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow \frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{27}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{{p^3}}}{{27}} < - \frac{{{q^2}}}{4} < 0}$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow p < 0}$

Τότε η $\displaystyle{f'\left( x \right) = 0}$ έχει δύο ρίζες $\displaystyle{a, b}$ και ανάμεσά τους υπάρχει μια ρίζα της $\displaystyle{f(x)=0}$

Η $\displaystyle{f}$ στα $\displaystyle{a, b}$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και τοπικό ελάχιστο αντίστοιχα.

Επειδή $\displaystyle{f''\left( x \right) = 6x}$ η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη στο $\displaystyle{\left( { - \infty ,\,\,0} \right)}$ και κυρτή στο $\displaystyle{\left( {0,\,\, + \infty } \right)}$ οπότε $\displaystyle{f(a)>0}$ και $\displaystyle{f(b)<0}$

Επίσης $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = \pm \infty }$ οπότε υπάρχουν $\displaystyle{a_1}$ , $\displaystyle{b_1}$ με $\displaystyle{a_1<a}$ και $\displaystyle{b<b_1}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{f(a_1)<0}$ και $\displaystyle{f(b_1)>0}$ .

Τότε σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle{\left( {{a_1},\,\,a} \right)}$ και $\displaystyle{\left( {b,\,\,{b_1}} \right)}$ η $\displaystyle{ f}$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα (Θ. Bolzano)

Τελικά η $\displaystyle{f(x)=0}$ έχει τρεις πραγματικές ρίζες.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

Μία πολύ όμορφη λύση-γενίκευση έχει ο A.Engel στο "Problem solving strategies".
Σελ 247-248
Χωρίς διαφορικό λογισμό.

ykerasar · #6

εκφώνηση
Το πολυώνυμο
$\displaystyle{f\left( x \right) = x^3 + px + q}$ με $\displaystyle{p,q \in R}$
έχει όλες τις ρίζες του πραγματικές, τότε και μόνο τότε, αν
$\displaystyle{\Delta = \frac{{p^3 }}{{27}} + \frac{{q^2 }}{4} < 0}$

απόδειξη
Για να έχει το $\displaystyle{f\left( x \right)}$ , τρεις ρίζες πραγματικές, πρέπει οπωσδήποτε, η πρώτη παράγωγος της $\displaystyle{f\left( x \right)}$ να έχει δύο ρίζες πραγματικές.
Είναι $\displaystyle{3x^2 + p = 0}$ $\displaystyle{\Leftrightarrow }$ $\displaystyle{x^2 = - \frac{p}{3}}$ , ώστε το $\displaystyle{f(x)}$ να έχει ρίζες πραγματικές.
Οι ρίζες αυτές θα περιέχονται στα διαστήματα
$\displaystyle{\left( { - \infty , - \sqrt {\frac{{ - p}}{3}} } \right)}$ , $\displaystyle{\left( { - \sqrt {\frac{{ - p}}{3}} ,\sqrt {\frac{{ - p}}{3}} } \right)}$ , $\displaystyle{\left( {\sqrt {\frac{{ - p}}{3}} , + \infty } \right)}$ ,
Επομένως πρέπει
$\displaystyle{f\left( { - \infty } \right) \cdot f\left( { - \sqrt {\frac{{ - p}}{3}} } \right) < 0}$ , $\displaystyle{ f\left( { - \sqrt {\frac{{ - p}}{3}} } \right)f\left( {\sqrt {\frac{{ - p}}{3}} } \right) < 0}$ , $\displaystyle{f\left( {\sqrt {\frac{{ - p}}{3}} } \right)f\left( { + \infty } \right) < 0}$ .
Είναι
$\displaystyle{f\left( { - \sqrt {\frac{{ - p}}{3}} } \right) = \frac{p}{3}\sqrt {\frac{{ - p}}{3}} p + q}$ = $\displaystyle{- \frac{{2p}}{3}\sqrt {\frac{{ - p}}{3}} }$ , και $\displaystyle{f\left( {\sqrt {\frac{{ - p}}{3}} } \right) = \sqrt {\frac{{ - p}}{3}} \frac{{2p}}{3} + q}$
Άρα πρέπει και αρκεί
$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left. \begin{array}{l}p < 0 \\ \frac{{2p}}{3}\sqrt {\frac{{ - p}}{3}} < q \\ \frac{{2p}}{3}\sqrt {\frac{{ - p}}{3}} < - q \\ \end{array} \right\}}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow \left\{ {\left. \begin{array}{l}p < 0 \\ \frac{{2p}}{3}\sqrt {\frac{{ - p}}{3}} < q < - \frac{{2p}}{3}\sqrt {\frac{{ - p}}{3}} \\ \end{array} \right\}} \right.}$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow \left. \begin{array}{l} p < 0 \\ \frac{{2p}}{3}\sqrt {\frac{{ - p}}{3}} < q \\ - \frac{{2p}}{3}\sqrt {\frac{{ - p}}{3}} > q \\ \end{array} \right\}}$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow \left\{ {\left. \begin{array}{l} p < 0 \\ \left| q \right| < - \frac{{2p}}{3}\sqrt {\frac{{ - p}}{3}}\\\end{array} \right\}} \right.}$ $\displaystyle{\left\{ {\left. \begin{array}{l} p < 0 \\ q^2 < \frac{{ - 4p^3 }}{{27}} \\\end{array} \right\}} \right.}$ $\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{{q^2 }}{4} + \frac{{p^3 }}{{27}} < 0}$

Η ταυτότητα του θέματος
Το θέμα τούτο το δανειστήκαμε από το βιβλίο «ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ» του παλαίμαχου μαθηματικού Θανάση Μαμούρη (σελ. 678). Τιμής ένεκεν, αναφέρουμε πως ο Θ. Μαμούρης ήταν ο πρώτος, στην ελληνική μαθηματική βιβλιογραφία, που μας έφερε σε επαφή με τα ρουμάνικα Μαθηματικά. Σήμερα, τα βιβλία του είναι εξαντλημένα από άποψη διαθέσιμων τευχών.

ΡΙΖΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

ΡΙΖΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΡΙΖΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΡΙΖΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΡΙΖΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΡΙΖΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΡΙΖΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μέλη σε σύνδεση