Πρόσημο παραγώγου-ιδιότητα darboux

[mathxl]

Εάν μία συνάρτηση φ είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) και η παράγωγος της, φ΄(χ) δεν είναι μηδέν στο διάστημα αυτό, να παοδείξετε ότι η φ΄ είναι θετική σε όλο το (α,β) ή αρνητική σε όλο το (α,β)

[nsmavrogiannis]

Πρόκειται για άμεση συνέπεια του θεωρήματος του Darboux που όπως ξέρουμε όλοι λέει το εξής:

Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα τότε έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής δηλαδή κάθε αριθμός μεταξύ δύο διαφορετικών τιμών , της είναι τιμή της που αντιστοιχεί σε κάποιο μεταξύ των .

Υπάρχει σε κάθε εγχειρίδιο απειροστικού λογισμού και είναι γνωστή σε κάθε επαγγελματία.
Είναι σκόπιμο το να ζητάμε στο mathematica την απόδειξη γνωστών θεωρημάτων;
Μαυρογιάννης

[mathxl]

Νίκο ευχαριστώ για την απάντηση.
Δεν ήθελα την απόδειξη αλλά αυτό που ήθελα ήταν να καταχωρηθεί ως πρόταση στο φάκελο του καθηγητή. Εάν την θεωρείς άχρηστη διέγραψε το ποστ. εμπιστεύομαι την κρίση σου

[nsmavrogiannis]

Μιας και το πιάσαμε το θέμα μεταφέρω αλλάζοντας μόνο τον συμβολισμό την απόδειξη που δίνει ο G.H. Hardy στο Α Course of Pure Mathematics (σελίδα 245 στην 10η έκδοση):

Ας πούμε πως και και . Η είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα με άκρα και επομένως θα έχει ελάχιστο. Το ελάχιστο αυτό δε μπορεί να παρουσιάζεται στα διότι είναι
(1)
(2)
Θα παρουσιάζεται σε κάποιο μεταξύ των και θα είναι δηλαδή .

Ο Hardy τελειώνει την απόδειξη εδώ. Ουσιαστικά χρησιμοποιεί την απλή παρατήρηση ότι αν η είχε ελάχιστο στο τότε θα ήταν για όλα τα στο οπότε (άτοπο).
'Ομοια δε μπορεί να παρουσιάζεται το ελάχιστο στο .

Βασίλη θα συμφωνήσω μαζί σου στο ότι πρόκειται για ένα χρήσιμο θεώρημα. Προσωπικά όταν οι συνθήκες το επιτρέπουν το διδάσκω σαν άσκηση. Οι επιφυλάξεις μου είναι άλλης τάξης. Έχει νόημα στο mathematica (ανεξάρτητα του τι γίνεται αλλού) να ανεβάζουμε σαν ασκήσεις γνωστά θεωρήματα; Έχω στο μυαλό μου πολλές πρόσφατες περιπτώσεις σε Ανάλυση, Άλγεβρα που έχει συμβεί αυτό. Σε μερικές περιπτώσεις μάλιστα επρόκειτο για εξαιρετικά δύσκολα αποτελέσματα. Έχω την γνώμη ότι έτσι μπερδεύονται τα μέλη μας. Αν μερικά θεωρήματα είναι απαραίτητα για τον καθηγητή σαν θεωρητικές επεκτάσεις ας τα καταγράψουμε και ας δώσουμε πλήρεις αποδείξεις. Για τα υπόλοιπα, έ! υπάρχουν και τα βιβλία που δε μπορούμε στο mathematica να τα υποκαταστήσουμε.
Μαυρογιάννης