Εύρεση τύπου (Δ.10)

mathxl · #1

Μια δική μου κατασκευή.

Να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης $\displaystyle{f:\left[ {0, + \infty } \right) \to \left[ {0, + \infty } \right)}$ που για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {0, + \infty } \right)}$ ικανοποιεί την $\displaystyle{f\left( x \right) = x - \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt x + \sqrt {f\left( t \right)} } \right)}^2}dt} }$ .

Ολοκληρωτικός λογισμός γ λυκείου μέχρι 27 /06 /2012

#2

Είναι $\displaystyle{f\left( x \right) = x - \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt x + \sqrt {f\left( t \right)} } \right)}^2}dt} =-\int_0^1f(x)dx-2\sqrt{x}\int_0^1\sqrt{f(x)}dx.}$

Επίσης, $\displaystyle{\int_0^1\sqrt{f(x)}dx\geq 0.}$

Αν $\displaystyle{\int_0^1\sqrt{f(x)}dx>0}$ τότε η

παίρνει αρνητικές τιμές για μεγάλες τιμές του

Άτοπο.

Άρα, $\displaystyle{\int_0^1\sqrt{f(x)}dx=0}$ και

σταθερή. Δηλαδή, $\displaystyle{c=-c\implies c=0 \implies f\equiv 0.}$

Stavroulitsa · #3

δε σκεφτηκα να παω ετσι! & προσπαθουσα να θεσω & για τις 2 μεταβλητες & δε μου έβγαινε...

mathxl · #4

Θανάση πολύ όμορφη λύση. Σταυρούλα φαντάζομαι εννοείς να θέσεις τα ορισμένα ολοκληρώματα(αριθμούς).
Έστω $\displaystyle{a = \int\limits_0^1 f (x)dx \wedge b = \int\limits_0^1 {\sqrt {f(x)} } dx}$
Έχουμε
$\displaystyle{f\left( x \right) = - \int\limits_0^1 f (x)dx - 2\sqrt x \int\limits_0^1 {\sqrt {f(x)} } dx = - 2b\sqrt x - a}$
Είναι
$\displaystyle{a = \int\limits_0^1 f (x)dx \ge 0}$ και $\displaystyle{b = \int\limits_0^1 {\sqrt {f(x)} } dx \ge 0}$
και επίσης
$\displaystyle{a = \int\limits_0^1 f (x)dx \Leftrightarrow a = \int\limits_0^1 {\left( { - 2b\sqrt x - a} \right)dx} \Leftrightarrow a = - 2b\left[ {\frac{{2{x^{\frac{3}{2}}}}}{3}} \right]_0^1 - a \Leftrightarrow 2a = - \frac{{4b}}{3} \Leftrightarrow a = - \frac{{2b}}{3} \le 0}$

Έτσι λοιπόν $\displaystyle{a = b = 0}$ .

Υ.Γ. Προς τον φίλο μαθητή ή συνάδελφο kochris:πρέπει να είχα κάνει λάθος στις πράξεις στην σχέση που συνδέει τα α και β γιαυτό μάλλον έβρισκα και δεύτερη λύση

mathxl · #5

Απότι βλέπω από τις σχέσεις $\displaystyle{b = \int\limits_0^1 {\sqrt {f(x)} } dx \ge 0}$ , $\displaystyle{a = \int\limits_0^1 f (x)dx \ge 0}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{f\left( x \right) = - 2b\sqrt x - a \le 0}$ .
Είναι από υπόθεση $\displaystyle{f\left( x \right) \ge 0}$ οπότε $\displaystyle{f\left( x \right) = 0}$ που επαληθεύει.

Stavroulitsa · #6

Δεν είχα αυτο στο μυαλό μου (ούτε αυτό το σκέφτηκα), αλλά είναι πολύ ωραία λύση!!!

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ που την αναρτήσατε!

kochris · #7

Συνάδελφος αγαπητέ mathxl...

όμορφη άσκηση!

Εύρεση τύπου (Δ.10)

Εύρεση τύπου (Δ.10)

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Μέλη σε σύνδεση