Τις γν. αύξουσες

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις γν. αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(1-x)=1-f(f(x)), }$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις γν. αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(1-x)=1-f(f(x)), }$ (1) για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

Αν στη θέση του $\displaystyle{x}$ στην (1) βάλουμε το $\displaystyle{1-x}$ έχουμε $\displaystyle{f(x)=1-f(f(1-x)) \Rightarrow f(f(1-x))=1-f(x),\ \forall x \in \Bbb{R}}$ (2)

Από την (1) επίσης προκύπτει η

$\displaystyle{f(f(1-x))=f(1-f(f(x)))=1-f(f(f(f(x)))),\ \forall x \in \Bbb{R}}$ (3)

Από (2) και (3) έχουμε $\displaystyle{f(x)=f(f(f(f(x)))) \Rightarrow f(f(f(x)))=x,\ \forall x \in \Bbb{R}}$ (4)

Αν για κάποιο $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$ είχαμε $\displaystyle{f(x)>x}$ , τότε

$\displaystyle{f(f(x))>f(x)>x \Rightarrow f(f(f(x)))>f(f(x))>f(x)>x \Rightarrow x>x}$ , άτοπο.

Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι για κάποιο $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$ έχουμε $\displaystyle{f(x)<x}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}}$ , που αληθεύει την αρχική.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=486623

Τις γν. αύξουσες

Τις γν. αύξουσες

Re: Τις γν. αύξουσες

Re: Τις γν. αύξουσες

Μέλη σε σύνδεση