Εξίσωση (Δ.11)

#1

Να λυθεί η εξίσωση $x+\sqrt{[x]+\sqrt{1+\{x\} }}=1$

#2

Παραλλαγή από KARKAR:

Να λυθεί η εξίσωση $|x|+\sqrt{[x]+\sqrt{1+\{x\} }}=1$

#3

Επαναφορά!

Thanasis Tasoulas · #4

Οι συμβολισμοί $[x],\{x\}$ τι σημαίνουν;

#5

thanos789 έγραψε:Οι συμβολισμοί $[x],\{x\}$ τι σημαίνουν;

Ακέραιο και δεκαδικό μέρος αντίστοιχα.

Σχετικά, http://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ ... _functions

#6

Επαναφορά!

#7

socrates έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση $x+\sqrt{[x]+\sqrt{1+\{x\} }}=1$

Αν $\displaystyle{x<-1}$ , τότε $\displaystyle{[x] \le -2}$ και επειδή $\displaystyle{\sqrt {1+\{x\}}<2}$ θα έχουμε

$\displaystyle{[x]+\sqrt{1+\{x\}}<0}$ , συνεπώς η εξίσωση δεν θα ορίζεται, άρα θα πρέπει $\displaystyle{ x \ge -1}$ .

Εξ' άλλου $\displaystyle{\sqrt{[x]+\sqrt{1+\{x\}}}=1-x}$ , άρα θα πρέπει $\displaystyle{1-x \ge 0}$ , δηλαδή $\displaystyle{x \le 1}$ , δηλαδή

$\displaystyle{\boxed{-1 \le x \le 1}}$ .

Αν $\displaystyle{-1 \le x <0}$ τότε $\displaystyle{[x]=-1}$ και η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{\sqrt{-1+\sqrt{1+\{x\}}}}=2-\{x\}}$ . Όμως $\displaystyle{\sqrt{\sqrt{1+\{x\}}-1}<\sqrt{\sqrt{2}-1}<1}$ και $\displaystyle{2-\{x\} >1}$ , άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.

Αν $\displaystyle{0<x<1}$ , τότε $\displaystyle{[x]=0}$ , άρα η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{x+\sqrt{\sqrt{1+\{x\}}}=1 \Leftrightarrow \sqrt{\sqrt{1+\{x\}}}=1-x}$ , η οποία είναι επίσης αδύνατη, γιατί

$\displaystyle{\sqrt{\sqrt{1+\{x\}}} \ge 1}$ και $\displaystyle{0<1-x<1}$ .

Για $\displaystyle{x=1}$ είναι προφανώς αδύνατη και μας μένει το $\displaystyle{0}$ που είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης.

Εξίσωση (Δ.11)

Εξίσωση (Δ.11)

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση