Ισότητα σε ισόπλευρο

#1

Έστω

εσωτερικό σημείο ισόπλευρου τριγώνου με κέντρο το

.
Αν

οι προβολές του

στις πλευρές του τριγώνου, τότε $\vec{PP_1}+\vec{PP_2}+\vec{PP_3}=\frac{3}{2}\vec{PO}$ .

STOPJOHN · #2

Θέτω $\vec{AB}=\vec{a},\vec{AC}=\vec{b}$ Ακόμη $AO\Delta //PP_{1}\Leftrightarrow \vec{PP_{1}}=\chi \vec{A\Delta }=\frac{\chi }{2}(\vec{\alpha }+\vec{b}), (1)$ . Είναι $\vec{PP_{1}}=\vec{PO}+\vec{O\Delt }+\vec{\Delta P_{1}}=\vec{PO}+\frac{1}{6}(\vec{\alpha }+\vec{b})+\kappa (\vec{b}-\vec{a}), (2)$ , όπου $\vec{\Delta P_{1}}=\kappa (\vec{b}-\vec{a}),\kappa \varepsilon R$ Από τις σχέσεις (1),(2)

λαμβάνουμε $\vec{PO}=(\frac{x}{2}-\frac{1-6\kappa }{6})\vec{a}+(\frac{x}{2}-\frac{1+6\kappa }{6})\vec{b}, (*)$ . Ομοίως για τα διανύσματα $\vec{PP_{2}}=\psi \vec{CE}=\frac{\psi }{2}(\vec{\alpha -2\vec{b}} ),\vec{PP_{2}}=\vec{PO}+\frac{1}{6}(\vec{a}-2\vec{b})+\lambda \vec{\alpha }$ ,όπου $\vec{EP_{2}}=\lambda \vec{\alpha }$ Αρα $\vec{PO}=(\frac{\psi }{2}-\frac{1}{6}-\lambda )\vec{a}+(\frac{1}{3}-\psi )\vec{b}, (**)$ , $\vec{PO}=(-z+\frac{1}{3})\vec{a}+(\frac{z}{2}-\frac{1}{6}-\mu )\vec{b}, (***)$ ,οπου $\vec{PP_{3}}=z\vec{BZ},\vec{ZP_{3}}=\mu \vec{b}$ Από (*),(**) έχουμε το σύστημα $\frac{\chi }{2}-\frac{1-6\kappa }{6}=\frac{\psi }{2}-\frac{1}{6}-\lambda , \frac{-\chi }{2}+\frac{1+6\kappa }{6}=\frac{-1}{3}+\psi$ το οποίο γράφεται ισοδύναμα $x=\frac{1}{3}(-4\lambda -2\kappa +1),\psi =\frac{1}{3}(4\kappa +2\lambda +1),(**),(***)\Rightarrow z=\frac{1}{3}(4\lambda -2\mu +1),\psi =\frac{1}{3}(4\mu -2\lambda +1)$
Άρα $\mu -\kappa =\lambda (5)$
Συνεπώς $\vec{PP_{1}}+\vec{PP_{2}}+\vec{PP_{3}}=(\kappa -\lambda )\vec{a}+(-\lambda -2\kappa )\vec{b}$ και $\frac{3}{2}\vec{{PO}}=\frac{3}{2}.\frac{1}{6}(-4\lambda +4\kappa )\vec{a}+\frac{3}{2}.\frac{1}{6}(-4\lambda -8\kappa )\vec{b}=(-\lambda +\kappa )\vec{a}+(-\lambda -2\kappa )\vec{b}$ Από τις δυο τελευταίες σχέσεις έχουμε την αποδεικτέα σχέση
Γιάννης

KARKAR · #3

Θεωρούμε γνωστό ότι : $\displaystyle \vec{PO}=\frac{\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}}{3}$ , ( εφαρμογή του σχολικού ) .

Τώρα φέροντας από το

παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου , έχω :

$\displaystyle \vec{PP_{1}}=\frac{\vec{PA'}+\vec{PA''}}{2} , \vec{PP_{2}}=\frac{\vec{PB'}+\vec{PB''}}{2} , \vec{PP_{3}}=\frac{\vec{PC'}+\vec{PC''}}{2}$

και προσθέτοντας : $\displaystyle \vec{PP_{1}}+\vec{PP_{2}}+\vec{PP_{3}}=\frac{\vec{PA'}+\vec{PC''}}{2} +\frac{\vec{PA'}+\vec{PB''}}{2} +\frac{\vec{PB'}+\vec{PC'}}{2}$

τελικά δε παίρνω : $\displaystyle \vec{PP_{1}}+\vec{PP_{2}}+\vec{PP_{3}}=\frac{\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}}{2}=\frac{3\vec{PO}}{2}$

#4

Η άσκηση είναι από εδώ:
http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=42&t=1358&start=0

Ισότητα σε ισόπλευρο

Ισότητα σε ισόπλευρο

Re: Ισότητα σε ισόπλευρο

Re: Ισότητα σε ισόπλευρο

Re: Ισότητα σε ισόπλευρο

Μέλη σε σύνδεση