f(2x)=2f(x)

#1

Η συνάρτηση $f \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι τέτοια ώστε f(x+f(y))+f(f(x)+y)=2x+2y,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R} .$

Να δείξετε ότι f(2x) = 2f(x),

για κάθε $x \in \mathbb{R} .$

Ανοιχτό: Μπορούμε να βρούμε όλες τις συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα;

BAGGP93 · #2

Μία ιδέα αν και δεν είμαι απόλυτα σίγουρος.

Εφόσον η

είναι συνάρτηση και D(f)=R

,τότε

$(\forall x\in R )(\exists y\in R);f(x)=y$

Ομοίως $(\forall y\in R )(\exists x\in R);f(y)=x$

Τότε για τα παραπάνω x,y

η δοθείσα σχέση δίνει f(2x)+f(2y)=2x+2y

για κάθε $x,y\in R$

Η τλευταία για y=x

θα δώσει $2f(2x)=4x\Rightarrow f(2x)=2f(x) \forall x\in R$

Είναι σωστή?

#3

Όχι. Υπάρχουν δύο προβληματικά σημεία.

(α) Δίνεται ότι η συνάρτηση είναι από το $\mathbb{R}$ στο $\mathbb{R}$ αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι η συνάρτηση

είναι επί. [Μπορεί όμως να αποδειχθεί για αυτήν συνάρτηση.]

(β) Παίρνεις $x\in \mathbb{R}$ και βρίσκεις

ώστε

. Μετά λες ότι για αυτό το συγκεκριμένο

«υπάρχει $x \in \mathbb{R}$ » ώστε f(x) = y

. Αυτό δεν μπορείς να το κάνεις διότι έχεις ήδη δευσμέυσει την μεταβλητή

. Μπορείς να πεις ότι υπάρχει $z \in \mathbb{R}$ με f(z) = y

αλλά δεν μπορείς να πεις ότι z=x

.

BAGGP93 · #4

Έχετε δίκιο

Σακης · #5

Εφαρμόζω τη δοθείσα για x=y

, οπότε προκύπτει f(y+f(y))=2y

(1)

Άρα η

είναι συνάρτηση επί του

. Άρα $\exists{c} \in{R}$ ώστε f(c)=0

.

Η (1) για y=c

δίνει

. Άρα

.

Εφαρμόζω την αρχική για x=0

και άρα

. (2)

Εφαρμόζοντας την (1) για y=f(y)

έχουμε

(3)

Άπο (2), (3) προκύπτει f(2y)=2f(y)

.

#6

#7

Μπορούμε να βρούμε όλες τις συναρτήσεις $f \ : \ \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε f(x+f(y))+f(f(x)+y)=2x+2y,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+ .$
Μια απόδειξη εδώ: https://arxiv.org/pdf/1901.11131.pdf (σελ. 9-10)