1-1 σε διάστημα

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Απάντηση
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6603
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

1-1 σε διάστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates »

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε f\left[{{x^{2}}+{y^{2}}+2f\left({xy}\right)}\right] ={\left[{f\left({x+y}\right)}\right]^{2}}, για κάθε x,y \in \mathbb{R}
και οι οποίες είναι 1-1 στο (2011,+\infty).
Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:
Επικοινωνία AlexandrosG

Re: 1-1 σε διάστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG »

Πολύ ωραίο πρόβλημα. Βάζω μια λύση σε hide γιατί αξίζει να την λύσετε μόνοι σας.
Για \displaystyle{y=0} παίρνουμε \displaystyle{f(x^2+2f(0))=f^2(x)}.

Άρα η συναρτησιακή εξίσωση γίνεται

\displaystyle{f(x^2+y^2+2f(xy))=f(x^2+y^2+2xy+2f(0))}.

Έστω \displaystyle{z \in \mathbb{R}}. Θέτουμε στην προηγούμενη \displaystyle{y=\frac{z}{x}}.

\displaystyle{f(x^2+\frac{z^2}{x^2}+2f(z))=f(x^2+\frac{z^2}{x^2}+2z+2f(0))}

Διαλέγουμε \displaystyle{x} αρκετά μεγάλο τέτοιο ώστε τα \displaystyle{x^2+\frac{z^2}{x^2}+2f(z),x^2+\frac{z^2}{x^2}+2z+2f(0)} να γίνουν μεγαλύτερα

του \displaystyle{2011}(γίνεται γιατί ως συνάρτηση του \displaystyle{x} αυξάνουν στο άπειρο). Εκεί η \displaystyle{f} είναι 1-1. Άρα

\displaystyle{x^2+\frac{z^2}{x^2}+2f(z)=x^2+\frac{z^2}{x^2}+2z+2f(0)}

Δηλαδή \displaystyle{f(z)=z+f(0)}. Το βάζουμε στην αρχική και βρίσκουμε την λύση \displaystyle{f(z)=z}.
Κορυφή
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6603
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Re: 1-1 σε διάστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates »

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=371329
Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
chrislg
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Παρ Αύγ 19, 2011 4:50 pm

Re: 1-1 σε διάστημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chrislg »

Οι δίκλαδες fπου είναι ταυτοτικές, για x μεγαλύτερα του 2011και σταθερές (0 η 1)για x μικρότερα του 2011 δεν αποτελούν λύση ;
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος Γενικοί Συντονιστές την Σάβ Ιούλ 21, 2012 1:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Τονισμός κειμένου- Διόρθωση κώδικα LaTeX
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9010
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Re: 1-1 σε διάστημα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres »

Όχι. Π.χ. πάρε x=y=1000. Τότε (f(x+y))^2 = 0 αλλά f(x^2 + y^2 + 2f(xy)) = 4000000
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες