Μια απλή

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)

, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε , για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

$x=y=0\Rightarrow f(0)=0$

$x=y=2\Rightarrow f(2)=0$

$x=y=1\Rightarrow f(1)=0$

$x=y=-1\Rightarrow f(-2)=2f(-1)$

$x=2,y=-1\Rightarrow f(-1)+f(-2)=0$

Άρα f(-1)=f(-2)=0

$y=-1\Rightarrow f(x-1)=f(x)+f(-x)$

$y=1\Rightarrow f(x+1)=2f(x)\Rightarrow f(x)=2f(x-1)$

Από τις δύο τελευταίες

$\displaystyle{f(x)+2f(-x)=0}$

Επομένως $\displaystyle{f(-x)+2f(x)=0}$

Άρα $\displaystyle{f(x)=0}$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$

#3

viewtopic.php?f=111&t=18045
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=421589

#4

Να δούμε και το αδερφάκι;

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)

, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Λάμπρος Μπαλός · #5

socrates έγραψε:Να δούμε και το αδερφάκι;

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε , για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Για

:

Για

:

Για

:

Για

και

:

Για

και

:

Για

: $f (x^{2})=f (x)$

Τέλος για y=x=2x

: $f (4x)=f (2x)+f (2x)+f (4x^{2})$

$3f (2x)=2f (2x)+3f (2x^{2})$

$f (2x)=3f (2x^{2})$

$3f (x)=3f (2x^{2})$

$f (x)=3f (x^{2})$

f (x)=3f (x)

#6

Μια απλή

Μια απλή

Re: Μια απλή

Re: Μια απλή

Re: Μια απλή

Re: Μια απλή

Re: Μια απλή

Μέλη σε σύνδεση