Να είναι συνεχής 6

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f : \mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ τέτοιες ώστε $f( f(xy) - xy ) + xf(y) + yf(x) = f(xy) + f(x)f(y), \ \forall \ x,y \in \ \mathbb{R^+}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f : \mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ τέτοιες ώστε (1) $f( f(xy) - xy ) + xf(y) + yf(x) = f(xy) + f(x)f(y), \ \forall \ x,y \in \ \mathbb{R^+}.$

Κατ' αρχάς για να έχει νόημα η (1) πρέπει $\displaystyle{f(x)>x,\ \forall x>0}$

Θέτω $\displaystyle{h(x)=f(x)-x, x>0}$ και έχω

$\displaystyle{(1) \Leftrightarrow h(h(xy))=h(x)h(y),\ \forall x,y>0}$ (2)

Η (2) για $\displaystyle{y=1}$ δίνει $\displaystyle{h(h(x))=h(1)h(x),\ \forall x>0}$ , άρα η (2) γράφεται

$\displaystyle{h(1)h(xy)=h(x)h(y),\ \forall x,y>0}$ (3)

Προφανής λύση της (3) είναι η $\displaystyle{h(x)=0,\ \forall x>0}$ , η οποία δίνει $\displaystyle{f(x)=x,\ \forall x>0}$ , η οποία απορρίπτεται.

Ψάχνουμε, λοιπόν, για τις μη μηδενικές λύσεις της (3).

Αν υπάρχει $\displaystyle{x_0>0}$ ώστε $\displaystyle{h(x_0)\neq 0}$ , τότε υποχρεωτικά $\displaystyle{h(1)\neq 0}$ , γιατί σε αντίθετη περίπτωση η (3)

για $\displaystyle{x=y=x_0}$ θα δίνει $\displaystyle{h^2(x_0)=0}$ , άτοπο.

Θέτω $\displaystyle{h(1)=b>0}$ και $\displaystyle{g(x)=\frac {1}{b}h(x), x>0}$ , οπότε η (3) γράφεται

$\displaystyle{g(xy)=g(x)g(y),\ \forall x,y>0}$ (4).

Είναι γνωστό ότι οι συνεχείς λύσεις της (4) (Μία από τις εξισώσεις τύπου Cauchy) είναι οι συναρτήσεις

$\displaystyle{g(x)=x^a, x>0}$ ( $\displaystyle{a \in \Bbb{R}}$ )

Συνεπώς $\displaystyle{h(x)=bx^a, x>0}$ και $\displaystyle{f(x)=bx^a+x, x>0}$

Επαληθεύοντας στην (1) βρίσκουμε μετά από πράξεις $\displaystyle{b^{a+1}(xy)^{a^2}=b^2(xy)^a,\ \forall x,y>0}$ (5)

Η (5) δίνει $\displaystyle{a=1}$ ή $\displaystyle{a=0,b=1}$ , συνεπώς $\displaystyle{\boxed{f(x)=bx+x, x>0 \wedge b \neq 1}}$

ή $\displaystyle{\boxed{f(x)=x+1,x>0}}$

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=314979

Να είναι συνεχής 6

Να είναι συνεχής 6

Re: Να είναι συνεχής 6

Re: Να είναι συνεχής 6

Μέλη σε σύνδεση