IMC 2012/2/4

#1

Έστω $n \ge 2$ ένας ακέραιος.
Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς

για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί $x_1,x_2,\dots,x_n$ τέτοιοι ώστε
$\displaystyle{x_1(1-x_2)=x_2(1-x_3)=\dots=x_n(1-x_1)=a.}$

Ilias_Zad · #2

Ωραίο πρόβλημα.
Δίνω μια προσέγγιση:

Για $4a \leq 1$ είμαστε οκ για x_1=x_2=..=x

με

κατάλληλο.

Υποθέτουμε λοιπόν ότι $a> \frac{1}{4}$ .

Θεωρούμε αρχικά την $f(x)=1-\frac{a}{x}$ .
Τότε βλέπουμε ότι κάθε x_i

τηρεί την σχέση f^n(x_i)=f(f(..f(x_i))..)=x_i

, όπου η

εφαρμόζεται

φορές, αφού x_1(1-x_2)=a =>x_2=f(x_1)

κτλ,δηλαδή κάθε x_i

είναι σταθερό σημείο της f^n

.

Όμως η

έχει Moebius μορφή ,άρα και η f^n

,και μπορεί να προκύψει εύκολα ότι κάθε moebius είναι είτε ταυτοτική είτε έχει το πολύ 2 σταθερά σημεία πάνω από τους μιγαδικούς(προκύπτει μια δευτεροβάθμια).

Αν δεν είναι η f^n

ταυτοτική τότε θα έχει σίγουρα 0,1 ή 2 σταθερά σημεία πάνω απο τους μιγαδικούς. Όμως η

έχει σε κάθε περιπτωση 2 σταθερά που τα κληρονομεί και η f^n

. Άρα τα σταθερά της f^n

είναι τα σταθερά της

,δηλαδή οι 2 μιγαδικές,μη πραγματικές ρίζες, της x^2-x+a

. Όμως κανένα από τα x_i

δεν μπορεί να πάρει τέτοια τιμή ,πράγμα αδύνατο.

Άρα έχουμε ότι για $a>\frac{1}{4}$ , πρέπει f^n(x)=x

.

Τώρα αν $f^k(x)=\frac{a_kx+b_k}{c_kx+d_k}$ ,

φυσικός, οι συντελεστές προκύπτουν από γνωστή αντιστοιχία ως τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα
A^k

, με

.

Άρα πρέπει A^n=rI

,

scalar. Συνεπώς το ελάχιστο του

διαιρεί το x^n-r

για κάποιο

.

Όμως το ελάχιστο του

είναι το

.

Συνεπώς θα πρέπει r^2=a^n

και $x=a^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ ,

φυσικός.Από εδώ εξισώνοντας και με την άλλη τιμή του

παίρνουμε το τελικό $a=\frac{1}{4}(1+tan^2(\frac{k\pi}{n}))$ .

Τώρα για κάθε τέτοιο

μπορούμε να πάμε και αντίστροφα επιλέγοντας x_1

τυχαίο και ύστερα x_2=f(x_1),x_3=f(x_2)

κτλ

Άρα οι τιμές των a που μας ικανοποιούν είναι ακριβώς οι εξής: όλα τα $a<\frac{1}{4}$ και τα

της μορφής $a=\frac{1}{4}(1+tan^2(\frac{k\pi}{n}))$ ,

φυσικός

IMC 2012/2/4

IMC 2012/2/4

Re: IMC 2012/2/4

Μέλη σε σύνδεση