Κυκλικό κι ομογενές πολυώνυμο βαθμού 3

#1

Έστω

ένα κυκλικό και ομογενές πολυώνυμο βαθμού 3.
Να δειχθεί ότι αν $P(1,1,1)\geq 0$ και $P(a,b,0)\geq 0$ για κάθε $a,b\geq 0$ ,
τότε $P(a,b,c)\geq 0$ για κάθε $a,b,c\geq 0$ ."

Σχόλιο: Είναι το Θεώρημα 3 στις σελ. 310-311 του http://gil.ro/downloadable/download/sample/sample_id/1/
Ασφαλώς, θα θέλαμε να δούμε μια απόδειξη του παραπάνω χωρίς της χρήση του "global derivative".
Μια εφαρμογή είναι το θέμα viewtopic.php?f=111&t=30064#p140885

Φιλικά,

Αχιλλέας

#2

Αχιλλέα, ο όρος "global derivative" ξενίζει κάπως, μια και η παράγωγος είναι τοπική (local) έννοια...

Δεν έχω το βιβλίο "Secrets in Inequalities-vol. 2" του Pham Kim Hung, οπότε δεν ξέρω τι εννοεί ο συγγραφέας με τον όρο "global derivative". Από το κεφάλαιο 6 του βιβλίου αυτού (σελ. 310-311), που διατίθεται ελεύθερα στο διαδίκτυο, προκύπτει (με την προσθήκη ενός απλού επιχειρήματος) η παρακάτω απόδειξη:

Έστω $\displaystyle{P\left( {X,Y,Z} \right) \in \mathbb{R}\left[{X,Y,Z} \right]}$ ένα κυκλικό ομογενές πολυώνυμο βαθμού $\displaystyle{3}$ . Υποθέτουμε ότι ισχύουν:

$\bullet$ $\displaystyle{P\left( {1,1,1} \right) \ge 0}$

$\bullet$ $\displaystyle{P\left( {a,b,0} \right) \ge 0}$ για κάθε $\displaystyle{a,b \in \left[ {0, + \infty } \right)}$ .

Έστω τυχαία $\displaystyle{a,b,c \in \left[ {0, + \infty } \right)}$ . Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{P\left( {a,b,c} \right) \ge 0.}$ Αν $\displaystyle{{c = 0}}$ , τότε το ζητούμενο ισχύει από την υπόθεση. Εφόσον το πολυώνυμο $\displaystyle{P\left( {X,Y,Z} \right)}$ είναι κυκλικό, μπορούμε, δίχως βλάβη της γενικότητας, να υποθέσουμε ότι

$\displaystyle{\min \left\{ {a,b,c} \right\} = c > 0.}$

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$\displaystyle{f:\left[ {0,c} \right] \to \mathbb{R}:t \mapsto f\left( t \right): = P\left( {a - c + t,b - c + t,t} \right).}$

Ισχυρισμός: Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι αύξουσα στο $\displaystyle{\left[ {0,c} \right]}$ .

Το ζητούμενο έπεται άμεσα από τον Ισχυρισμό, γιατί τότε έχουμε ότι

$\displaystyle{f\left( c \right) \ge f\left( 0 \right)}$

δηλαδή

$\displaystyle{P\left( {a,b,c} \right) \ge P\left( {a - c,b - c,0} \right) \ge 0.}$

Για την απόδειξη του Ισχυρισμού, αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{f'\left( t \right) \ge 0}$ για κάθε $\displaystyle{t \in \left[ {0,c} \right]}$ .

Έστω ότι

$\displaystyle{P\left( {X,Y,Z} \right) = k\sum\limits_{cyc} {{X^3}} + \ell \sum\limits_{cyc} {{X^2}Y} + m\sum\limits_{cyc} {X{Y^2}} + nXYZ,}$

όπου $k, \ell, m, n \in \mathbb{R}$ .

Από τον Κανόνα της Αλυσίδας (για την παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης τριών μεταβλητών) προκύπτει ότι για κάθε $\displaystyle{t \in \left[ {0,c} \right]}$ ισχύει:

$\displaystyle{f'\left( t \right) = \left( {\frac{{\partial P}}{{\partial X}} + \frac{{\partial P}}{{\partial Y}} + \frac{{\partial P}}{{\partial Z}}} \right)\left( {a - c + t,b - c + t,t} \right) = :Q\left( {a - c + t,b - c + t,t} \right)},$

όπου

$\displaystyle{Q\left( {X,Y,Z} \right): = \left( {\frac{{\partial P}}{{\partial X}} + \frac{{\partial P}}{{\partial Y}} + \frac{{\partial P}}{{\partial Z}}} \right)\left( {X,Y,Z} \right) = }$

$\displaystyle{ = 3k\left( {{X^2} + {Y^2} + {Z^2}} \right) + \left( {\ell + m} \right){\left( {X + Y + Z} \right)^2} + n\left( {XY + YZ + ZX} \right) = }$

$\displaystyle{ = \left( {3k + \ell + m} \right)\left( {{X^2} + {Y^2} + {Z^2}} \right) + \left( {2\ell + 2m + n} \right)\left( {XY + YZ + ZX} \right).}$

Αλλά, από την υπόθεση έχουμε ότι:

$\displaystyle{P\left( {1,1,1} \right) \ge 0 \Rightarrow 3k + 3\ell + 3m + n \ge 0,}$

$\displaystyle{P\left( {1,1,0} \right) \ge 0 \Rightarrow 2k + \ell + m \ge 0}$

και

$\displaystyle{P\left( {1,0,0} \right) \ge 0 \Rightarrow k \ge 0.}$

Επομένως, θα είναι

$\displaystyle{3k + \ell + m = k + \left( {2k + \ell + m} \right) \ge 0,}$

οπότε, χρησιμοποιώντας την ανισότητα $\displaystyle{{X^2} + {Y^2} + {Z^2} \ge XY + YZ + ZX}$ έχουμε ότι:

$\displaystyle{Q\left( {X,Y,Z} \right) \ge \left[ {\left( {3k + \ell + m} \right) + \left( {2\ell + 2m + n} \right)} \right]\left( {XY + YZ + XZ} \right) = }$

$\displaystyle{ = \left( {3k + 3\ell + 3m + n} \right)\left( {XY + YZ + XZ} \right),}$

οπότε για $\displaystyle{X,Y,Z \in \left[ {0, + \infty } \right)}$ θα ισχύει

$\displaystyle{Q\left( {X,Y,Z} \right) \ge 0.}$

Ώστε, για κάθε $\displaystyle{t \in \left[ {0,c} \right]}$ ισχύει

$\displaystyle{f'\left( t \right) = Q\left( {a - c + t,b - c + t,t} \right) \ge 0}$

και η απόδειξη του Ισχυρισμού ολοκληρώνεται.

#3

Ούτε και εγώ είχα ξανακούσει για τον όρο global derivative. Στο ελεύθερο κομμάτι του βιβλίου δεν μπορούμε να διαβάσουμε τον ορισμό. Υποψιάζομαι ότι πρόκειται για τον εξής ορισμό που συνοδεύεται και από το πιο κάτω θεώρημα

Για την συνάρτηση

των μεταβλητών $x_1,\ldots,x_n$ ορίζουμε την καθολική παράγωγο της D_gF

ως το άθροισμα των μερικών παραγώγων της

ως προς τις μεταβλητές $x_1,\ldots,x_n$ .

(Π.χ. για την συνάρτηση F(x,y,z) = xy + z^2

έχουμε

.)

Το θεώρημα που μάλλον αποδεικνύει στο βιβλίο είναι το εξής:

Έστω κυκλική συνάρτηση

στις μεταβλητές $x_1,\ldots,x_n$ όπου τα x_i

παίρνουν τιμές σε ένα διάστημα $\Delta$ της μορφής [0,a),[0,a]

ή $[0,\infty)$ για κάποιο a > 0

. Έστω επίσης ότι η καθολική παράγωγος της

υπάρχει σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού και ότι
(α) $F(x_1,\ldots,x_{n-1},0) \geqslant 0$ για κάθε $x_1,\ldots,x_{n-1} \in \Delta$ και
(β) $D_gF(x_1,\ldots,x_n) \geqslant 0$ για κάθε $x_1,\ldots,x_n \in \Delta$ .
Τότε $F(x_1,\ldots,x_n) \geqslant 0$ για κάθε $x_1,\ldots,x_n \in \Delta$ .

Την απόδειξη μας την έδωσε ουσιαστικά ο Βαγγέλης.

Επειδή η

είναι κυκλική μπορούμε να υποθέσουμε ότι $x_n = \min\{x_1,\ldots,x_{n-1}\}$ . Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε $x_1,\ldots,x_n \in \Delta$ με $x_n = \min\{x_1,\ldots,x_{n-1}\}$ ισχύει ότι $F(x_1,\ldots,x_n) \geqslant F(x_1 - x_n,\ldots,x_{n-1}-x_n,0)$ . Για το τελευταίο αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση $f(t) = F(x_1 +t - x_n,\ldots,x_{n-1} + t -x_n,t)$ όπου το

παίρνει τιμές στο διάστημα [0,x_n]

είναι αύξουσα. (Αφού το ζητούμενο είναι να δείξουμε ότι $f(x_n) \geqslant f(0)$ .) Όμως από τον κανόνα της αλυσίδας είναι $\displaystyle{ f'(t) = D_gF(x_1 +t - x_n,\ldots,x_{n-1} + t -x_n,t). }$ Άρα από το (β) έχουμε $f'(t) \geqslant 0$ και άρα η

είναι όντως αύξουσα όπως θέλαμε να δείξουμε.

---------------------------------
Έχω την απορία αν όντως θα επιτρεπόταν κάποιος να χρησιμοποιήσει το πιο πάνω χωρίς απόδειξη.

#4

Δύσκολα θα βρούμε απόδειξη χωρίς κάποιας μορφής παραγώγιση, μια και οι συνθήκες $3k+3l+3m+n\geq 0$ & $2k+l+m\geq 0$ δεν είναι ικανές για την ισχύ της ανισότητας. Ακριβέστερα, η $P(a, b, 0)\geq 0$ δεν μπορεί να αντικατασταθεί από την $P(1, 1, 0)\geq 0$ (που είναι ισοδύναμη προς την $2k+l+m\geq 0$ ). Ένα αντιπαράδειγμα, για x=5

,

, μας δίνει το P(x, y, z)=2(x^3+y^3+z^3)-(x^2y+y^2z+z^2x)-3(xy^2+yz^2+zx^2)+6xyz

.

Γιώργος Μπαλόγλου

Κυκλικό κι ομογενές πολυώνυμο βαθμού 3

Κυκλικό κι ομογενές πολυώνυμο βαθμού 3

Re: Κυκλικό κι ομογενές πολυώνυμο βαθμού 3

Re: Κυκλικό κι ομογενές πολυώνυμο βαθμού 3

Re: Κυκλικό κι ομογενές πολυώνυμο βαθμού 3

Μέλη σε σύνδεση