Να είναι συνεχής 8

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+y)=f(x+f(y)) , \ \forall \ x,y \in \ \mathbb{R}.$

nikoszan · #2

... $f\left( {x + y} \right) = f\left( {x + f\left( y \right)} \right):\left( 1 \right)$ .
Απο την $\left( 1 \right)$ θέτοντας όπου

το

έχουμε ότι για κάθε $x,y \in R$ ισχύει $f\left( x \right) = f\left( {x + f\left( y \right) - y} \right):\left( 2 \right)$ .
Διακρίνουμε
$\left. 1 \right)$ $f\left( y \right) - y = 0,\forall y \in R$ ,δηλαδή $f\left( y \right) = y,\forall y \in R$ ,που ικανοποιεί την υπόθεση.
$\left. 2 \right)$ υπάρχει ${y_0} \in R$ ,ώστε $f\left( {{y_0}} \right) - {y_0} \ne 0$ . Από την $\left( 2 \right)$ για $y = {y_0}$ έχουμε ότι για κάθε $x \in R$ ισχύει
$f\left( x \right) = f\left( {x + f\left( {{y_0}} \right) - {y_0}} \right)$ ,οπότε η

είναι περιοδική με περίοδο $T = \left| {f\left( {{y_0}} \right) - {y_0}} \right| > 0$ .
Επειδη η

είναι περιοδική έχουμε $f\left( R \right) = f\left( {\left[ {0,T} \right]} \right)$ και επειδή είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα ${\left[ {0,T} \right]}$ έχει μέγιστο και ελάχιστο ,οπότε η

είναι φραγμένη.
Απο την $\left( 2 \right)$ για x = 0

προκύπτει ότι για κάθε $y \in R$ ισχύει $f\left( {f\left( y \right) - y} \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow f\left( {g\left( y \right)} \right) = f\left( 0 \right):\left( 3 \right)$ ,όπου $g\left( y \right) = f\left( y \right) - y$ , $y \in R$ .
Η

είναι συνεχής στο

και είναι $\mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } g\left( y \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \left( {f\left( y \right) - y} \right)\mathop = \limits^{f:\varphi \rho \alpha \gamma \mu \nu \eta } - \infty$ και $\mathop {\lim }\limits_{y \to - \infty } g\left( y \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to - \infty } \left( {f\left( y \right) - y} \right)\mathop = \limits^{f:\varphi \rho \alpha \gamma \mu \nu \eta } + \infty$ ,οπότε είναι $g\left( R \right) = R$ .
Εστω $x \in R$ .Επειδη $x \in g\left( R \right) = R$ υπάρχει $y \in R$ ,ώστε $g\left( y \right) = x$ και από την $\left( 3 \right)$ καταλήγουμε ότι $f\left( x \right) = f\left( 0 \right),\forall x \in R$ ,που ικανοποιεί την υπόθεση.
Αρα οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι $\left. 1 \right)f\left( x \right) = x,x \in R$ , $\left. 2 \right)$ $f\left( x \right) = c,x \in R$ ,όπου

οποιαδήποτε πραγματική σταθερά
Ν.Ζ.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=314628

Να είναι συνεχής 8

Να είναι συνεχής 8

Re: Να είναι συνεχής 8

Re: Να είναι συνεχής 8

Μέλη σε σύνδεση