Aπορία

#1

Καλημέρα!
Μόλις έφτασα απο Ρόδο και μια απο τις πρώτες κινήσεις μου, ήταν να ανοίξω τον Η/Υ και να συνδεθώ με το αγαπημένο mathematica....
Γράφω μια απορία που είχα πάντα , αλλά δεν κατάφερα ποτέ να τη λύσω. Μου ξαναήλθε στο μυαλό παρακολουθώντας τα σεμινάρια πρωτοδιόριστων...
Λέμε λοιπόν:
ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ
Είναι μια απεικόνιση , σύμφωνα με την οποία:
Διάνυσμα επί διάνυσμα = αριθμός
Αρα, εξωτερική πράξη!

ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ
Είναι μια απεικόνιση , σύμφωνα με την οποία:
Διάνυσμα επί διάνυσμα = Διάνυσμα.
Αρα, εσωτερική πράξη....
(Τα έδωσα με απλό και οχι αυστηρά μαθηματικό τρόπο γραμμένα...)

Η απορία μου έγκειται, ακριβώς σε αυτήν την αντίφαση, όσον αφορά τις ονομασίες, αλλά και τα είδη των πράξεων...
Όποιος συνάδελφος γνωρίζει κάτι γι'αυτό, παρακαλώ θερμότατα να το καταθέσει.

Την ΚΑΛΗΜΕΡΑ μου σε όλα τα μέλη!

#2

Χρήστο το ερώτημα σου είναι εύλογο και με είχε απασχολήσει και εμένα παλαιότερα. Με την ευκαιρία λοιπόν φρέσκαρα κάποια παλιά διαβάσματα και είδα κάποια νέα (για μένα) στοιχεία.
'Ολη η ιστορία ξεκίνησε από τον Grassmann (1809-1877) ο οποίος στο έργο του (1832):
Θεωρία της Γραμμικής Επέκτασης, ένας νέος κλάδος των Μαθηματικών
χρησιμοποίησε ένα σύστημα συμβολικού υπολογισμού με το οποίο παρείχε την δυνατότητα, μεταξύ άλλων, να εκτελεί και πολλαπλασιασμούς διανυσμάτων. Το έργο αυτό δεν είχε καλή τύχη. 'Οντας γραμμένο με ένα εξαιρετικά αφηρημένο τρόπο θαωρήθηκε ακατάληπτο και το ασκήθηκε δριμύτατη κριτική. Αργότερα επισκιάστηκε από το έργο του Hamilton για τις τετράδες. Μεταξυ των επικριτών του ο Μobius και ο Kummer.
Ανάμεσα στα πολλά γινόμενα που όρισε ο Grassmann ήταν και το γνωστό μας εσωτερικό (έτσι το ονόμασε) γινόμενο και το επίσης γνωστό μας εξωτερικό (που αυτός το ονόμασε έτσι). Ο Grassmann έκανε διάφορες αναθεωρησεις στο έργο του και και άλλαζε τους συμβολισμούς. 'Οταν η αργότερα η αξία του έργου του αναγνωρίστηκε επικράτησε εν μέρει και η ο ορολογία του.
Λέω εν μέρει γιατί ο Gibbs στις Ηνωμένες Πολιτείες δημοσίευσε το έργο του
Στοιχεία Διανυσματικής Ανάλυσης διευθετημένα προς χρήση των Σπουδαστών της Φυσικής
όπου χρησιμοποίησε τους όρους dot product για το εσωτερικό και vector product για το εξωτερικό.
Διάφοροι συγγραφείς όπως ο Cajori και ο Schwartzman αφήνουν να εννοηθεί ότι η επιλογή από τον Grassmann των δύο συγκεκριμένων όρων είναι περίπου τυχαία. Ο Schwartzman σημειώνει ότι ο Grassmann υιοθέτησε τον ένα όρο τυχαία και για το άλλο γινόμενο χρησιμοποίησε τον άλλο όρο σαν αντώνυμο (antonym). Λίγο ως πολύ αυτά τα είχα δει και πιο παλιά αλλά με αφορμή το ερώτημα σου κοίταξα λίγο πιο καλά τα πράγματα. Διαβάζοντας μου φάνηκε ότι η εξήγηση του Schwartzman (ανάπαράγεται και στην πολύ ενδιαφέρουσα ιστοσελίδα Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics του eff Miller που είναι καθηγητής στο Gulf High School (http://jeff560.tripod.com/mathword.html) ) δεν έστεκε και πολύ.
Η πρώτη αντίρρηση ήταν ότι ο Grassmann είχε χρησιμοποιήσει και άλλα γινόμενα και σε μερικά είχε δώσει και ονόματα.
Η δεύτερη αντίρρηση προέκυψε όταν έκανα τον κόπο να δω μερικά αποσπάσματα από το έργο του Grassmann. Προς Θεού όχι στα Γερμανικά (που δεν γνωρίζω και όποτε χρειάζομαι κάτι δουλεύω με μία Γραμματική και ένα Λεξικό: αυτό το καλοκαίρι «δώσαμε», αφού καταταλαιπωρήθηκα με ένα άρθρο του Hamel του 1905) αλλά από την ανθολογία του Smith.
Ο Grassmann ξεκινάει με κάποιες ποσότητες όπως τις ονομάζει $e_{1},e_{2},e_{3},..$ που τις αποκαλεί μονάδες όπου μία από αυτές, ας πούμε η $e_{1}$ είναι πραγματικός αριθμός (την λέει απόλυτη μονάδα) αλλά οι άλλες όχι (τις λέει σχετικές μονάδες). Κινούμενος εντελώς αφηρημένα χωρίς να αποδίδει κάποιο περιεχόμενο στις μονάδες σχηματίζει μετά αθροίσματα
$\sum\limits_{i}\lambda _{i}e_{i}$ με $\lambda _{i}$ πραγματικους. Τα αθροίσματα αυτά τα ονομάζει εκτατικές ποσότητες. Με την σύγχρονη γλώσσα (που δεν υπήρχε τότε: η έννοια του διανυσματικού χώρου αναπτύχθηκε πολύ αργότερααπό τον Weyl) προκειται για γραμμικούς συνδυασμούς διανυσμάτων.
Δύο εκτατικές ποσότητες προστίθενται κατά τον προφανή τρόπο και πολλαπλασιάζονται με τον «αναμενόμενο» τρόπο
$\left( \sum\limits_{i}\lambda _{i}e_{i}\right) \left( \sum\limits_{i}\lambda _{i}^{\prime }e_{i}\right) =\sum\limits_{i,j}\lambda _{i}\lambda _{j}^{\prime }e_{i}e_{j}$
Το δύσκολο σημείο είναι ο ορισμός της «προπαίδειας» με την οποία πολλαπλασιάζονται τα $e_{i},e_{j}$ . Ο Grassmann χρησιμοποιεί διάφορες επιλογές. Η βασική λογική είναι τα υπάρχοντα μαθηματικά αντικείμενα να «εκτείνονται» για να φτιάξουν νέα δηλαδή να ξεφεύγουμε από το υπάρχον. Μία από αυτές (που συμπίπτει με το γνωστό μας εσωτερικό γινόμενο) οδηγεί σε αποτέλεσμα που είναι πολλαπλάσιο της απόλυτης μονάδας $e_{1}$ δηλαδή είναι «μέσα» σε αυτό που έχουμε. Ο
Grassmann σημειώνει: «Συνεπώς αυτά τα γινόμενα θα δηλωθούν ως εσωτερικά γινόμενα». Πιο κάτω όταν σχηματίζει το γνωστό μας εξωτερικό γινόμενο το ονομάζει εξωτερικό γιατί επεκτείνεται έξω από το υπάρχον (το εξωτερικό γινόμενο μας βγάζει από το επίπεδο των δύο παραγόντων του). Κατά την γνώμη μου λοιπόν η επιλογή των όρων από τον Grassmann δεν έγινε καθόλου τυχαία.
Πολύ αργότερα ορίσθηκαν με άλλη λογική οι (διμελείς) εσωτερικές ή εξωτερικές πράξεις και με την λογική των πράξεων αυτών οι όροι εσωτερικό, εξωτερικό έπρεπε να δοθούν ανάποδα. Πρόκειται για ένα εντελώς συμπτωματικό γεγονός-αντίθεση που οφείλεται στο ότι κάποιες ιδέες αναπτύχθηκαν παράλληλα αλλά όχι σε πλήρη αλληλεπίδραση.
Για όσους ενδιαφέρονται αναφέρω κάποια από τα βιβλία, άρθρα που συμβουλεύθηκα:
(α) Cajori_A History of mathematical Notations, DOVER, 1993, (1929)
(β) Crowe_A History of Vector Analysis. The Evolution of the Idea of a Vectorial System, DOVER, 1994 (1967)
(γ) Moore_The axiomatization of linear algebra. 1875-1940, Historia Mathematica, 22 (1995), 262-303
(δ) Fearnley-Sander_Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 10, 1978, 809-817
(ε) Smith_A Sourse Book in Mathematics, DOVER, 1959 (1929)
(στ) Schwartzman_The Words of Mathematics. An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English, Mathematical Association of America, 1994

Μαυρογιάννης

#3

Nίκο καλημέρα και για μια ακόμη φορά οφείλω να σε ευχαριστήσω δημόσια γι'αυτό το τόσο όμορφο ''άνοιγμα'' των ματιών σε εμάς τους πιο νέους, αλλά και την επιπλέον υπόδειξη για το πως πρέπει να λειτουργεί ο πραγματικός ερευνητής των μαθηματικών...
Να είσαι καλά!

Ιστοσελίδα · #4

Νίκο συγχαρητήρια.
Το ευχαριστώ είναι πολύ λίγο για μια τέτοια απάντηση
Χρήστο αυτό είναι "διάπλατο άνοιγμα" ματιών και για εμάς τους όχι και τόσο νέους.
Μίλτος.

#5

Νίκο ευχαριστούμε πάρα πολύ για αυτήν την εξαιρετική δουλειά. Μήπως μπορείς να μας διαφωτίσεις και για το ακόλουθo:

Εκτός από το πιο γνωστό εξωτερικό γινόμενο (το οποίο ορίζεται μόνο όταν τα διανύσματα είναι στις τρεις διαστάσεις) υπάρχει και ένα λιγότερο γνωστό εξωτερικό γινόμενο. Για τους όρους αντιγράφω από το λεξικό του κ. Γεωργίου:

inner/scalar/dot product = εσωτερικό/βαθμωτό/αριθμητικό/ευθύ γινόμενο
outer/cross/vector product = εξωτερικό/διανυσματικό γινόμενο
exterior/wedge product = εξωτερικό/σφηνοειδές γινόμενο

Ποίο από τα δύο λοιπόν εξωτερικά γινόμενα ονόμασε ο Grassmann ως εξωτερικό γινόμενο; Από την περιγραφή σου θα φανταζόμουν το σφηνοειδές αντί το διανυσματικό, αλλά τότε δεν δικαιολογείται η αγγλική μετάφραση αφού το αντώνυμο του inner είναι outer ενώ του exterior είναι interior.

Είμαι (σχεδόν) σίγουρος ότι ο Grassmann γνώριζε το σφηνοειδές γινόμενο αφού η exterior algebra ονομάζεται και Grassmannian algebra.

Αν έχεις διαβάσει κάτι σχετικό τότε πες μας.

----------------------------------
Η wikipedia έρχεται να μπερδέψει ακόμη περισσότερο τα πράγματα. Στο λήμμα Outer product δίνει τον ορισμό του τανυστικού γινομένου (= tensor product). Εγώ προσωπικά δεν θυμάμαι να έχω δει πουθενά (εκτός από την wikipedia) το τανυστικό γινόμενο να ονομάζεται outer product.

#6

Κατ' αρχάς οφείλω εγώ να ευχαριστήσω τον Χρήστο Κυριαζή για το έναυσμα αλλά και το όλο κλίμα του mathematica για την ώθηση. Που σε κάνει να κοιτάξεις σήμερα κάτι και να μην πεις "έχουμε καιρό". Για να μάθεις κάτι για σένα πρώτα αλλά και για να το κουβεντιάσεις με φίλους. Δεν με πειράζει καθόλου που πολλές φορές βγαίνω από το πρόγραμμα μου και άλλα σκόπευα να κάνω και με άλλα ασχολούμαι. Είναι συζητήσεις μεταξύ φίλων: ποιός τολμάει να βάλει ημερήσια διάταξη; Το λέω για πολλοστή φορά: το mathematica στο οποίο με μεγάλη ευχαρίστηση αφιερώνω αρκετό από τον χρόνο μου, συνήθως με χαρτί και μολύβι, αποτελεί για μένα σημαντικό μοχλό αυτομόρφωσης.

Επί του προκειμένου τώρα:
Ο Grassmann στο Θεωρία της Γραμμικής Επέκτασης, ένας νέος κλάδος των Μαθηματικών (Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik) γνωστό με το "χαϊδευτικό" Ausdehnungslehre όρισε το εξωτερικό γινόμενο να είναι το αντίστοιχο του εξωτερικού γινομένου που ξέρουμε και στο οποίο αναφέρθηκε ο Χρήστος.
'Οπως ανέφερα στο προηγούμενο σημείωμα το όλο θέμα είναι να οριστεί η "προπαίδεια" μεταξύ των μονάδων. Κάθε επιλογή αντιστοιχεί σε διαφορετικό γινόμενο. Για το εξωτερικό γινόμενο ο Grassmann όρισε
$e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}$
$e_{i}e_{i}=0$
και
$e_{i}\left( e_{j}+e_{k}\right) =e_{i}e_{j}+e_{i}e_{k}$
αν και όπως σημειώνει ο Crowe o τελευταίος κανόνας είναι περιττός μιας και προκύπτει από τον γενικό κανόνα του πολλαπλασιασμού των εκτατικών ποσοτήτων στον οποίο αναφέρθηκα στο προηγούμενο μήνυμα.
'Ενα ενδιαφέρον ζήτημα που ανακύπτει είναι: ποια από τα γνωστά γινόμενα είχε ορίσει ο Grassman και με ποια ονομασία. Το κοίταξα αλλά συνάντησα τις εξής δυσκολίες:
α) Τα ονόματα αλλάζουν από έκδοση σε έκδοση του Ausdehnungslehre.
β) Σημασία έχουν τα ονόματα στα Γερμανικά και όχι οι διάφορες αποδόσεις τους και τα Γερμανικά είναι για μένα εμπόδιο.
γ) Κάθε συμπέρασμα απαιτεί μία προσεκτική και συστηματική καταγραφή όλων των γινομένων κάτι που παρουσιάζει δυσκολίες που αντιμετώπισαν ακόμη και σύγχρονοι του. 'Οπως σημειώνει ο Crowe "Το σύστημα του Grassmann είναι τόσο ευρύ και τόσο γενικό που υπάρχουν σοβαρές δυσκολίες σε κάθε προσπάθεια επισκόπησης του".

Τελειώνοντας θα ήθελα να κάνω δύο σχόλια
α) Το απόφθεγμα του Abel: "Μου φαίνεται ότι αν κάποιος επιθυμεί να προοδεύσει στα Μαθηματικά, τότε οφείλει να μελετήσει τους Δασκάλους και όχι τους Μαθητές" ποτέ μα ποτέ δεν χάνει την επικαιρότητα του. Σε όποια κλίμακα και αν εφαρμοσθεί κανείς ποτέ δεν βγαίνει χαμένος διαβάζοντας κάτι που έχει γράψει ένας καλλίτερος του πολύ περισσότερο ένας μεγάλος. Η μαθηματική κοινότητα, όσο θέλει να είναι μαθηματική, το γνωρίζει. Είναι εξαιρετικά ενδιαφέρουσες οι προσπάθειες να στηθεί ένα προγεφύρωμα για να μπορεί κάποιος να κατανοήσει το έργο του Grassmann. Στο τέλος του 19ου αιώνα γράφτηκαν πάμπολλα πονήματα με αυτό το σκοπό. Χαρακτηριστικό το
Collins_An Elementary Exposition of Grassmann's Ausdehnungslehre, or Theory of Extension
που δημοσιεύθηκε σε συνέχειες στο Monthly. Μπορεί να βρεθεί δωρεάν στο http://www.archive.org
β) Δεν έχω εμπιστοσύνη στην Wikipedia χωρίς να σημαίνει ότι δεν την κοιτάω. Ωστόσο με ενοχλεί ότι ο κάθε ένας μπορεί να γράφει το κοντό του και το μακρύ του χωρίς έλεγχο. Για πλείστα ζητήματα προτιμώ την γνώμη των επαϊόντων. Μάλιστα δεν με ενοχλεί ακόμη και να χρησιμοποιήσω τον όρο αυθεντία. Για θέματα γνώσης νομίζω ότι ισχύει "Δεν ξέρεις, δεν μιλάς" ή "Μάθε πριν μιλήσεις". Αλλιώς καταλήγουμε σε καταστάσεις που περιγράφονται στην γνωστότατη παροιμία με την μύγα. Στο σχολείο αρνούμαι να δεχθώ μαθητική εργασία που στηρίζεται μόνο στην Wikipedia. Ζητάω υποστήριξη και διασταύρωση και από άλλες πηγές. Σε ένα άρθρο του ο Ουμπέρτο ΄Εκο είχε γράψει ότι η Wikipedia είναι χρήσιμη για να δίνεις εργασίες στους φοιτητές ζητώντας τους να βρουν και να τεκμηριώσουν τις ανακρίβειες σε συγκεκριμένα άρθρα της.
Μαυρογιάννης

#7

Νίκο , ευχαριστούμε για τον κόπο και το χρόνο σου

Γιώργης

#8

Δεν χωράει αμφιβολία ότι η γνώση της δημιουργίας και εξέλιξης των μαθηματικών εννοιών είναι μείζονος σημασίας σε κάθε διδακτική προσέγγιση. Αυτό είναι συγχρόνως και ένα μεγάλο ζήτημα που αφορά εμάς που διδάσκουμε μαθηματικά στο σχολείο.
Το ερώτημα του Χρήστου(ωραία ξεκίνησε από τη Χάλκη !) και η εξαιρετική εργασία του Νίκου μου έδωσαν αφορμή να ρίξω και γω μια ματιά σε αυτήν την πρωτοποριακή μορφή που λέγεται Grassmann !
Αν και δω στο σχολείο όλο και κάποιος μας διακόπτει ,σας ομολογώ ότι συγκινήθηκα από το ιστορικό κείμενο που διάβασα στο συνημμένο αρχείο(συγνώμη που δεν έχω την υπομονή και το χρόνο να το μεταφράσω, αλλά ευτυχώς είναι στα αγγλικά). Το ότι ο Grassmann έμεινε καθηγητής στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση , μια και το έργο του δεν έγινε αντιληπτό από σύγχρονους μεγάλους μαθηματικούς , είναι μια τραγική διαπίστωση που δεν πρέπει να διαφύγει. Δεν είναι βέβαια και η μοναδική.
Εσείς διαβάστε το ιστορικό σχόλιο για μια σύντομη αναφορά στη ζωή του Grassmann και γω θα συνεχίσω να ψάξω στα γερμανικά κείμενα και ίσως να βρω κάτι πιο συγκεκριμένο που αφορά τη μαθηματική του δημιουργία και αφορά την τάξη.
Μπάμπης

ΠΡΟΣΘΗΚΗ

Έβαλα ακόμα ένα μικρό αρχείο που είναι ο πρόλογος του Grassmann στο κύριο βιβλίο του για τις επεκτάσεις. Το δεύτερο αρχείο είναι η αναφορά στη ζωή και το έργο του.

#9

Καλημέρα σας!

Οι παραπάνω απαντήσεις όλων των συναδέλφων είναι καταπληκτικές!!!

Επισυνάπτω μια (μεταπτυχιακή) εργασία στο συγκεκριμένο θέμα!
Την είχα διαβάσει πριν δυο χρόνια και τώρα με αφορμή την ερώτηση του Χρήστου την μελετάω ξανά..

Νίκος Κατσίπης

#10

Νίκο, Μπάμπη και Νίκο, ευχαριστούμε ξανά!

Aπορία

Aπορία

Re: Aπορία

Re: Aπορία

Re: Aπορία

Re: Aπορία

Re: Aπορία

Re: Aπορία

Re: Aπορία

Re: Aπορία

Re: Aπορία

Μέλη σε σύνδεση