CEVA ο... τριγωνομετρικός

#1

Έστω τρίγωνο ABC.

Ένας κύκλος τέμνει τις πλευρές του BC,CA,AB

σε δύο σημεία την καθεμία, τα $(D_{1},D_{2}),(E_{1},E_{2}),(F_{1},F_{2})$ αντίστοιχα.
Οι ευθείες $D_{1}E_{1}$ και $D_{2}E_{2}$ τέμνονται στο σημείο

, οι ευθείες $E_{1}F_{1}$ και $E_{2}D_{2}$ τέμνονται στο

και οι ευθείες $F_{1}D_{1}$ και $F_{2}E_{2}$
τέμνονται στο

Να αποδείξετε πως οι AL,BM,CN

συντρέχουν.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

chris_gatos έγραψε:Έστω τρίγωνο Ένας κύκλος τέμνει τις πλευρές του σε δύο σημεία την καθεμία, τα $(D_{1},D_{2}),(E_{1},E_{2}),(F_{1},F_{2})$ αντίστοιχα.
Οι ευθείες $D_{1}E_{1}$ και $D_{2}E_{2}$ τέμνονται στο σημείο , οι ευθείες $E_{1}F_{1}$ και $E_{2}D_{2}$ τέμνονται στο και οι ευθείες $F_{1}D_{1}$ και $F_{2}E_{2}$
τέμνονται στο
Να αποδείξετε πως οι συντρέχουν.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Η λύση που έχω είναι ψιλο...τριγωνομετρική εξ'ου και ο τίτλος. Αν σας αρέσει γενικότερα, ορμάτε της! Καλή διασκέδαση!

Χρήστο καλησπέρα. Αφού δεν απαντήθηκε ας το απαντήσω απαντώντας στο ένα ερώτημα του θέματος που έχω θέσει εδώ: viewtopic.php?f=112&t=30615

με τη βοήθεια ενός λήμματος που απαντά άμεσα στο θέμα που έχεις θέσει.

Λήμμα

Δίνεται κύκλος $\displaystyle{ \left( O \right) }$ και ευθεία $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right) }$ εκτός αυτού. Ας είναι $\displaystyle{ OK \bot \left( \varepsilon \right)\,\,,\left( {K \in \left( \varepsilon \right)} \right) }$ και $\displaystyle{ A,B }$ τα σημεία τομής της $\displaystyle{ OK }$ με τον $\displaystyle{ \left( O \right) }$ ( $\displaystyle{ B }$ σημείο του τμήματος $\displaystyle{ OK }$ ).

Έστω $\displaystyle{ \left( {\varepsilon _K } \right) }$ η πολική του $\displaystyle{ K }$ ως προς τον $\displaystyle{ \left( O \right) }$ και ας είναι $\displaystyle{ M \equiv \left( {\varepsilon _K } \right) \cap AK }$ . Να δειχθεί ότι οι πολικές όλων των σημείων της $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right) }$ ως προς τον $\displaystyle{ \left( O \right) }$ διέρχονται από το σημείο $\displaystyle{ M }$ .

Απόδειξη

: Πολικές σημείων ευθείας ως προς κύκλο διερχόμενες από σταθερό σημείο..png (39.34 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

$\displaystyle{ \bullet }$ Έστω $\displaystyle{ S \in \left( \varepsilon \right),S \ne K }$ τυχαίο σημείο της $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right) }$ και $\displaystyle{ P,Q }$ τα σημεία τομής της ευθείας $\displaystyle{ SM }$ με τον κύκλο $\displaystyle{ \left( O \right) }$ με $\displaystyle{ P }$ σημείο του τμήματος $\displaystyle{ SM }$ .

Με $\displaystyle{ \left( {\varepsilon _K } \right) }$ πολική του $\displaystyle{ K }$ ως προς τον $\displaystyle{ \left( O \right) }$ προκύπτει ότι η σειρά $\displaystyle{ \left( {K,M,B,A} \right) }$ είναι αρμονική και επομένως και η δέσμη $\displaystyle{ \left( {PK,PM,PB,PA} \right) }$ είναι αρμονική

και επειδή οι ακτίνες της $\displaystyle{ PA,PB }$ είναι κάθετες μεταξύ τους $\displaystyle{ \left( {\widehat{APB}\mathop = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \,\,\sigma \varepsilon \,\,\eta \mu \iota \kappa \upsilon \kappa \lambda \iota o} 90^0 } \right) }$ αυτές θα είναι διχοτόμοι των γωνιών που σχηματίζουν

οι άλλες δύο δηλαδή $\displaystyle{ PB }$ διχοτόμος της $\displaystyle{ \widehat{QPK} }$ . Με όμοιο τρόπο από την αρμονική δέσμη $\displaystyle{ \left( {QK,QM,QB,QA} \right) }$ με $\displaystyle{ QA \bot QB \Rightarrow QB }$ διχοτόμο της $\displaystyle{ \widehat{PQK} }$ .

$\displaystyle{ \bullet }$ Δηλαδή το $\displaystyle{ B }$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου (σημείο τομής δύο διχοτόμων) $\displaystyle{ \vartriangle PKQ \Rightarrow KM }$ διχοτόμος του $\displaystyle{ \vartriangle PKQ }$ και με $\displaystyle{ KS \bot KB \Rightarrow KS }$ η εξωτερική διχοτόμο

του $\displaystyle{ \vartriangle PKQ }$ άρα η σειρά $\displaystyle{ \left( {S,M,P,Q} \right) }$ είναι αρμονική και με $\displaystyle{ P,Q \in \left( O \right) \Rightarrow M }$ ανήκει στην πολική $\displaystyle{ \left( {\varepsilon _S } \right) }$ του $\displaystyle{ S }$ ως προς τον $\displaystyle{ \left( O \right) }$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ.1 Θα επανέλθω το βραδάκι (μετά το καφεδάκι ) για την απάντηση στο θέμα που έχει τεθεί

Υ.Σ.2 Χρήστο πότε να σας περιμένουμε (Στάθης - Δημήτρης) στην (Αιδηψό - Ιστιαία) με το Μιχάλη (Νάννο);

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Υ.Σ.2 Χρήστο πότε να σας περιμένουμε (Στάθης - Δημήτρης) στην (Αιδηψό - Ιστιαία) με το Μιχάλη (Νάννο);

Καλησπέρα Στάθη.Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.Εγώ πλέον είμαι διαθέσιμος. Θα κανονιστούν οι λεπτομέρειες με τον Δημήτρη, Μιχάλη κι όποιον άλλο πρόθυμο προκύψει.
Καλό βράδυ!

#4

chris_gatos έγραψε:Έστω τρίγωνο Ένας κύκλος τέμνει τις πλευρές του σε δύο σημεία την καθεμία, τα $(D_{1},D_{2}),(E_{1},E_{2}),(F_{1},F_{2})$ αντίστοιχα.
Οι ευθείες $D_{1}E_{1}$ και $D_{2}E_{2}$ τέμνονται στο σημείο , οι ευθείες $E_{1}F_{1}$ και $E_{2}D_{2}$ τέμνονται στο και οι ευθείες $F_{1}D_{1}$ και $F_{2}E_{2}$
τέμνονται στο
Να αποδείξετε πως οι συντρέχουν.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Η λύση που έχω είναι ψιλο...τριγωνομετρική εξ'ου και ο τίτλος. Αν σας αρέσει γενικότερα, ορμάτε της! Καλή διασκέδαση!

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Λήμμα

Δίνεται κύκλος $\displaystyle{ \left( O \right) }$ και ευθεία $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right) }$ εκτός αυτού. Ας είναι $\displaystyle{ OK \bot \left( \varepsilon \right)\,\,,\left( {K \in \left( \varepsilon \right)} \right) }$ και $\displaystyle{ A,B }$ τα σημεία τομής της $\displaystyle{ OK }$ με τον $\displaystyle{ \left( O \right) }$ ( $\displaystyle{ B }$ σημείο του τμήματος $\displaystyle{ OK }$ ).

Έστω $\displaystyle{ \left( {\varepsilon _K } \right) }$ η πολική του $\displaystyle{ K }$ ως προς τον $\displaystyle{ \left( O \right) }$ και ας είναι $\displaystyle{ M \equiv \left( {\varepsilon _K } \right) \cap AK }$ . Να δειχθεί ότι οι πολικές όλων των σημείων της $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right) }$ ως προς τον $\displaystyle{ \left( O \right) }$ διέρχονται από το σημείο $\displaystyle{ M }$ .

Υποθέτω ότι ο Χρήστος εννοεί ότι οι $\displaystyle{ AM,BN,CL }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.

: πολικές συντρέχουσες.png (56.87 KiB) Προβλήθηκε 477 φορές

Ας είναι $\displaystyle{ E' \equiv D_1 F_2 \cap D_2 F_1 ,\,\,D' \equiv E_1 F_2 \cap E_2 F_1 ,\,\,F' \equiv E_1 D_2 \cap E_2 D_1 \, }$ τότε από το Θεώρημα του Pascal στο εγγεγραμμένο (μη κυρτό) εξάγωνο $\displaystyle{ F_1 E_2 D_1 E_1 F_2 D_2 }$

προκύπτει ότι $\displaystyle{ E',D',F' }$ είναι συνευθειακά και επειδή από εγγεγραμμένα τετράπλευρα $\displaystyle{ F_1 E_2 E_1 F_2 ,\,\,\,F_2 D_1 D_2 F_1 ,\,\,\,D_1 D_2 E_1 E_2 }$ προφανώς οι $\displaystyle{ AM,BN,CL }$

είναι οι πολικές των $\displaystyle{ D',E',F' }$ αντίστοιχα με τη βοήθεια του λήμματος που δείξαμε πιο πάνω προκύπτει ότι οι $\displaystyle{ AM,BN,CL }$ διέρχονται από το ίδιο

σημείο ( έστω $\displaystyle{ S }$ ) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Φιλικά
Στάθης

CEVA ο... τριγωνομετρικός

CEVA ο... τριγωνομετρικός

Re: CEVA ο... τριγωνομετρικός

Re: CEVA ο... τριγωνομετρικός

Re: CEVA ο... τριγωνομετρικός

Μέλη σε σύνδεση