Διπλάσια γωνία

KARKAR · #1

Στο καρτεσιανό επίπεδο έχουν σχεδιασθεί τα σημεία A(-1,0) , P(2,0)

και η υπερβολή $\displaystyle x^2-\frac{y^2}{3}=1$ .

Σημείο

κινείται επί του δεξιού κλάδου της υπερβολής . Δείξτε ότι : $\widehat{SPA}= 2{\cdot}\widehat{SAP}$

#2

Μια απόδειξη, η οποία πατάει στη γνωστή ισοδυναμία $\displaystyle{\boxed{A=2B \iff a^2=b^2+bc}}$

Εν προκειμένω, θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{AS^2=SP^2+AP\cdot SP.}$ ( $\displaystyle{\color{blue}\bigstar}$ )

Είναι $\displaystyle{AP=3,}$

$\displaystyle{AS^2=(x+1)^2+y^2=(x+1)^2+3(x^2-1)=4x^2+2x-2,}$

και

$\displaystyle{SP^2=(x-2)^2+y^2=(x-2)^2+3(x^2-1)=4x^2-4x+1=(2x-1)^2.}$

Μάλιστα, επειδή το $\displaystyle{S}$ κινείται στο δεξιό κλάδο της υπερβολής, είναι $\displaystyle{2x-1>0,}$ οπότε $\displaystyle{SP=2x-1.}$

Η επαλήθευση της ( $\displaystyle{\color{blue}\bigstar}$ ) είναι άμεση.

KARKAR · #3

Δείτε την κουβέντα για το "θεώρημα" που επικαλείται ο Θάνος : εδώ

parmenides51 · #4

Ισχύει και το αντίστροφο.

#5

Είχε προσεγγιστεί κι εδώ .. viewtopic.php?f=112&t=4187

parmenides51 · #6

Παρόμοια με το αντίστροφο εδώ.

Υ.Γ. Δεν έδωσα απευθείας την παραπομπή, μήπως και ήθελε κάποιος να ασχοληθεί.

Διπλάσια γωνία

Διπλάσια γωνία

Re: Διπλάσια γωνία

Re: Διπλάσια γωνία

Re: Διπλάσια γωνία

Re: Διπλάσια γωνία

Re: Διπλάσια γωνία

Μέλη σε σύνδεση