Οριακή εκθετική

#1

Να βρεθεί η ελάχιστη σταθερά

για την οποία ισχύει η $a^x\geq x$ για κάθε $x\geq 0$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

stavros11 · #2

Λόγω περιορισμών είναι $\displaystyle{a>0}$ .

Αν $\displaystyle{a \in (0,e^{1/e})}$ , τότε είναι $\displaystyle{a<e^{1/e}\Rightarrow a^e<e}$ οπότε δεν ισχύει το ζητούμενο για $\displaystyle{x=e}$ .

Για $\displaystyle{a=e^{1/e}}$ θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=e^{x/e}-x}$ ορισμένη στο $\displaystyle{[0,+\infty)}$ . Τότε $\displaystyle{f'(x)=e^{\frac{x}{e}-1}-1}$ , οπότε εύκολα βλέπουμε πως εμφανίζει ολικό ελάχιστο στο $\displaystyle{x=e}$ το $\displaystyle{f(e)=0}$ , δηλαδή $\displaystyle{f(x)\geq 0 \; \; \forall \; x \in [0,+\infty)}$ .

Οπότε το ελάχιστο είναι το $\displaystyle{a=e^{1/e}}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Αλλιώς:

Αναζητούμε εκείνο το

για το οποίο η y=x

εφάπτεται της y=a^x

, εκείνο δηλαδή το

για το οποίο υπάρχει

τέτοιο ώστε a^c=c

και

. Από απαλοιφή έχουμε $a[(lna)^{lna}]=1$ . Θέτοντας a=e^b

προκύπτει η (eb)^b=1

, άρα

και $b=e^{-1}$ , οπότε $a=e^{\frac{1}{e}}$ .

[Θα μπορούσε (η ελαχιστότητα αυτή του $e^{\frac{1}{e}}$ ) να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη της ανισότητας ( $\frac{3}{2})^e>e$ (που χρειάστηκε ο Θάνος Μάγκος εδώ) ... μόνο που η απαραίτητη συνθήκη $\frac{3}{2}>e^{\frac{1}{e}}$ συμβαίνει να είναι ισοδύναμη προς το ζητούμενο

]

Γιώργος Μπαλόγλου

#4

αν πάρουμε λογαρίθμους το $\displaystyle{lna}$ πρέπει να είναι το μέγιστο (η το sup) της $\displaystyle{f(x)=\frac{lnx}{x}}$ το οποίο εύκολα είναι το $\displaystyle{\frac{1}{e}}$ . Για $\displaystyle{x=0}$ η ανισότητα είναι γνήσια

Οριακή εκθετική

Οριακή εκθετική

Re: Οριακή εκθετική

Re: Οριακή εκθετική

Re: Οριακή εκθετική

Μέλη σε σύνδεση