ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ

varv19 · #1

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός $z\left( \alpha \right) = \frac{\alpha }{{1 + \alpha i}}$ με $\alpha \in R$

Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού

για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $\alpha$ είναι κύκλος, να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του.

Να βρείτε τους μιγαδικούς με το μέγιστο και το ελάχιστο μέτρο.

Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών $z(\alpha)$ και $z(-\frac{1}{\alpha})$ είναι αντιδιαμετρικά σημεία.

Να δείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών z(1), z(-1), z(2013)

είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου.

dennys · #2

καλησπέρα σε ολους

Αρχικά έχουμε $z\bar {z}=\cfrac{a}{(1+ai)}\cfrac{a}{(1-ai)}=\cfrac{a^2}{1+a^2}, (1)$

και $z=\cfrac{a}{1+ai}=\cfrac{a(1-ai)}{1+a^2}=\cfrac{a}{1+a^2}-\cfrac{a^2}{1+a^2}i, (2)$

απο (1)+(2) $\Rightarrow z\bar {z}=-Im(z)\Rightarrow x^2+y^2+y=0\Rightarrow x^2+(y+1/2)^2=(1/2)^2$

δηλ κύκλος με κέντρο $(0,-1/2),\rho=1/2$

φιλικά dennys

ΜΕΧΡΙ ΝΑ ΓΡΑΨΩ Ο ΦΙΛΟΣ ΠΡΟΣΘΕΣΕ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΛΛΑ ΠΟΛΥ ΧΛΙΑΡΑ ,ΜΑΛΛΟΝ ΕΙΝΑΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ????

τέλος πάντων.2)ειναι $|z|min=|OK-\rho|=0,|z|max=OK+\rho=1$

3)αρκεί να δείξω ότι : |z(a)-z(-1/a)|=1

που ισχύει αφού $=|\cfrac{a}{1+ai}-\cfrac{-1/a}{1-(1/a)i}|=|\cfrac{a}{1+ai}+\cfrac{1}{a-i}|$

$=|\cfrac{a}{i(a-i)}+\cfrac{i}{i(a-i)}|=|\cfrac{a+i}{i(a-i)}=1$

4)Αφου z(1),z(-1)

ειναι αντιδιαμετρικά απο το 3), ΚΑΙ z(2013)

τυχαίο σημειο του κύκλου το τρίγωνο είναι ορθογώνιο \

αφου βαίνει σε ημικύκλιο.

#3

Μια άλλη αντιμετώπιση

Είναι $\displaystyle{z = \frac{\alpha }{{1 + \alpha i}},\alpha \in R}$
Ισοδύναμα έχω $\displaystyle{z + z\alpha i{\rm{ }} = {\rm{ }}\alpha \Leftrightarrow \alpha (1 - zi){\rm{ }} = {\rm{ }}z\,\,\,\,\,\,\,\,}$

Αν $\displaystyle{z = - i{\rm{ }}}$ είναι αδύνατη

Αν $\displaystyle{\,z \ne - i}$ γίνεται $\displaystyle{\alpha = \frac{z}{{1 - zi}}}$ οπότε

$\displaystyle{\alpha \in R \Leftrightarrow \frac{z}{{1 - zi}} = \frac{{\overline z }}{{1 + \overline z i}} \Leftrightarrow z + {\left| z \right|^2}i = \overline z - {\left| z \right|^2}i \Leftrightarrow 2{\left| z \right|^2}i = \overline z - z}$

Θέτω $\displaystyle{z = x + yi\,\,}$ με $\displaystyle{\,\,(x,y) \ne (0, - 1)}$ , οπότε γίνεται
$\displaystyle{2({x^2} + {y^2}) = - 2y \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + y = 0\,\,\,\,\,}$
Η τελευταία παριστάνει κύκλο με $\displaystyle{K\left( {0, - \frac{1}{2}} \right)\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,{\rm{\rho = }}\frac{1}{2}\,\,\,}$ , εκτός του σημείου $\displaystyle{\,\,\,\,(0, - 1)}$

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ

Μέλη σε σύνδεση