Είναι ίσα!

#1

Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\arccos \left( {\frac{1}{5}} \right) = 2\arctan \left( {\sqrt {\frac{2}{3}} } \right).}$

#2

emouroukos έγραψε:Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\arccos \left( {\frac{1}{5}} \right) = 2\arctan \left( {\sqrt {\frac{2}{3}} } \right).}$

Ωραία σχέση.

Από τον τύπο $\displaystyle{2 \arctan x = \arctan \frac {2x}{1-x^2}}$ (είναι γνωστός και βγαίνει από τον $\displaystyle{\tan 2a = \frac {2 \tan a}{1- \tan ^2 a}}$ , το δεξί μέλος είναι ίσο με $\displaystyle{ \frac {2 \sqrt {\frac {2}{3}}}{ 1 - \frac {2}{3}}= 6 \sqrt {\frac {2}{3}}}$ .

Από τον τύπο $\displaystyle{\cos a =\pm \frac {1} {\sqrt {\tan ^2 a + 1}}}$ έχουμε

$\displaystyle{ \cos \left( 6 \sqrt {\frac {2}{3}}}} \right) = \frac {1} {\sqrt { \left ( 6 \sqrt {\frac {2}{3}}}\right) ^2 + 1}}}= \frac {1}{5}$ , (η γωνία $\displaystyle{ 6 \sqrt {\frac {2}{3}}}} \approx 280^0}$ είναι στο τέταρτο τεταρτημόριο).

Από το τελευταίο έπεται το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης.

#3

Μια άλλη προσέγγιση:

Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με πλευρές $\displaystyle{a = 5}$ , $\displaystyle{b = 6}$ και $\displaystyle{c = 7}$ . Από το Νόμο των Συνημιτόνων, είναι

$\displaystyle{\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{{5^2} + {6^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 6}} = \frac{{12}}{{60}} = \frac{1}{5} \Rightarrow C = \arccos \left( {\frac{1}{5}} \right).}$

Αν $\displaystyle{s = \frac{{a + b + c}}{2} = 9}$ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, τότε από τη σχέση

$\displaystyle{\tan \left( {\frac{C}{2}} \right) = \sqrt {\frac{{\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)}}{{s\left( {s - c} \right)}}} }$

προκύπτει ότι

$\displaystyle{\tan \left( {\frac{C}{2}} \right) = \sqrt {\frac{{4 \cdot 3}}{{9 \cdot 2}}} = \sqrt {\frac{2}{3}} \Rightarrow C = 2\arctan \left( {\sqrt {\frac{2}{3}} } \right)}$

και το συμπέρασμα έπεται!

Είναι ίσα!

Είναι ίσα!

Re: Είναι ίσα!

Re: Είναι ίσα!

Μέλη σε σύνδεση