Συνέχεια

drakpap · #1

Έστω η συνάρτηση $f:\left(0,+\infty \right)\rightarrow\left(0,+\infty \right)$ η οποία είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε

στο πεδίο ορισμού και για την οποία ισχύει $(f\circ f)(x)=x\,f(x)$

1) f(1)

?
2) να δείξετε ότι η

είναι συνεχής στο

.
3) να δείξετε ότι η

είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού.
4) να υπολογίσετε τα όρια στο

και στο άπειρο.

#2

...φαίνεται ενδιαφέρον...ας κάνουμε μία προσπάθεια...

1) Για όπου

το

στην δοθείσα ισότητα προκύπτει ότι f(f(1))=f(1)

και αφού η

είναι γνήσια φθίνουσα άρα και '1-1'

προκύπτει ότι f(1)=1

2) Για

επειδή η

είναι γνήσια φθίνουσα θα ισχύει ότι $f(x)<1\Leftrightarrow f(x)-1<0$ και ακόμη ότι f(f(x))>f(1)=1

και λόγω υπόθεσης ότι $xf(x)>1\Leftrightarrow f(x)>\frac{1}{x}\Leftrightarrow f(x)-1>\frac{1}{x}-1$ και τελικά για x>1

ισχύει ότι

$\frac{1}{x}-1<f(x)-1<0$ και επειδή $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{1}{x}-1)=0=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,0$

σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα είναι και $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(f(x)-1)=0\Leftrightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1$

Τώρα για x<1

με ανάλογη σκέψη δείχνουμε ότι $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(f(x)-1)=0\Leftrightarrow \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1$ επομένως

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1=f(1)$ άρα η $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(f(x)-1)=0\Leftrightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1$ .

3) Για $x>{{x}_{0}}$ με ${{x}_{0}}\in (0,\,\,+\infty )$ επειδή η

είναι γνήσια φθίνουσα θα ισχύει ότι $f(x)<f({{x}_{0}})$ και ακόμη ότι

$f(f(x))>f(f({{x}_{0}}))\Leftrightarrow xf(x)>{{x}_{0}}f({{x}_{0}})\Leftrightarrow f(x)>\frac{{{x}_{0}}}{x}f({{x}_{0}})$ επομένως για $x>{{x}_{0}}$ θα είναι ότι

$\frac{{{x}_{0}}}{x}f({{x}_{0}})<f(x)<f({{x}_{0}})$ και αφού $\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{x}{{{x}_{0}}}f({{x}_{0}}))=f({{x}_{0}})$ από κριτήριο παρεμβολής

θα είναι $\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})$

και με ανάλογο τρόπο για $x<{{x}_{0}}$ δείχνουμε ότι $\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})$ επομένως

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})$ άρα η

είναι συνεχής στο $(0,\,\,+\infty )$

4) ...

ακόμη....

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

nikoszan · #3

Για το $\left. 4 \right)$ .
Επειδή η $f:\left( {0, + \infty } \right) \to \left( {0, + \infty } \right)$ είναι συνεχης και γνησίως φθίνουσα έπεται ότι $f\left( {\left( {0, + \infty } \right)} \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)} \right) \subseteq \left( {0, + \infty } \right)$ ,

οπότε $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = l \in \left[ {0, + \infty } \right)$ και $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = m \in \left( {0, + \infty } \right) \cup \left\{ { + \infty } \right\}$ .

Αν $l \in \left( {0, + \infty } \right)$ ,τότε

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( {f\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {xf\left( x \right)} \right) \Rightarrow f\left( l \right) = + \infty$ ,άτοπο.Αρα είναι l = 0

,δηλαδή $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0.$

Αν $m \in \left( {0, + \infty } \right)$ ,τότε

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( {f\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {xf\left( x \right)} \right) \Rightarrow f\left( m \right) = 0$ ,άτοπο,αφού $f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)$ . Αρα $m = + \infty$ ,

δηλαδή $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = + \infty$
Ν.Ζ.

dennys · #4

Για το 4 ) το πρόβλημα είναι αν η συνάρτηση ειναι "επι" . Επειδή όμως ορίζεται η σύνθεση fof

πρέπει να ισχύουν

$f(A)\subseteq (0,+\infty)$ και $(0,+\infty) \subseteq f(A)$ αρα $f(A)=(0,+\infty)$ δηλ. σύνολο άφιξης και τιμών ειναι ισα.

nikoszan · #5

Διονύση,είναι λάθος αυτό που γράφεις στο σημείο ότι επειδή ορίζεται η $f \circ f$ πρέπει $\left( {0, + \infty } \right) \subseteq f\left( A \right)$ .
Φιλικά Ν.Ζ.

dennys · #6

Νικο αυτό που και τηλεφωνικά σου είπα σαν σκέψη μου είναι ότι ,αν f(A)=(a,b)

αφου ορίζεται η fof

κιαι είναι γν.αυξουσα αρα και η g(x)=xf(x)

θα είναι γν.αυξουσα ,και με ορια στο 0 και στο +οο, βγαίνει $(0,+\infty),$

αρα απο τη $fof \Rightarrow f(f(A))=(0,+\infty)\Rightarrow f(A)=f^{-1}(0,+\infty)=(0,+\infty)$ .,αφου ως γν.φθίνμουσα αντιστρέφεται.

καλο βράδυ και σε ευχαριστώ για τις επισημάνσεις σου.Οι γνώσεις μαθηματικών του δικού σου βεληνεκούς είναι πολύτιμες, και αν κάνω λάθος , έτσι την είδα.

ο φίλος σου Διονύσης

#7

dennys έγραψε:Νικο αυτό που και τηλεφωνικά σου είπα σαν σκέψη μου είναι ότι ,αν

αφου ορίζεται η κιαι είναι γν.αυξουσα αρα και η θα είναι γν.αυξουσα ,και με ορια στο 0 και στο +οο, βγαίνει $(0,+\infty),$

αρα απο τη $fof \Rightarrow f(f(A))=(0,+\infty)\Rightarrow f(A)=f^{-1}(0,+\infty)=(0,+\infty)$ .,αφου ως γν.φθίνμουσα αντιστρέφεται.

καλο βράδυ και σε ευχαριστώ για τις επισημάνσεις σου.Οι γνώσεις μαθηματικών του δικού σου βεληνεκούς είναι πολύτιμες, και αν κάνω λάθος , έτσι την είδα.

ο φίλος σου Διονύσης

Το πρόβλημα είναι εδώ. π.χ. η $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x}}$ δεν έχει την ιδιότητα

dennys · #8

θανάση προφανώς για αυτή που λές δεν ισχύει και η αρχική σχέση δηλ. f(f(x))=xf(x)

,αφού

και

dennys

nikoszan · #9

dennys έγραψε:Νικο αυτό που και τηλεφωνικά σου είπα σαν σκέψη μου είναι ότι ,αν

αφου ορίζεται η κιαι είναι γν.αυξουσα αρα και η θα είναι γν.αυξουσα ,και με ορια στο 0 και στο +οο, βγαίνει $(0,+\infty),$

αρα απο τη $fof \Rightarrow f(f(A))=(0,+\infty)\Rightarrow f(A)=f^{-1}(0,+\infty)=(0,+\infty)$ .,αφου ως γν.φθίνμουσα αντιστρέφεται.

καλο βράδυ και σε ευχαριστώ για τις επισημάνσεις σου.Οι γνώσεις μαθηματικών του δικού σου βεληνεκούς είναι πολύτιμες, και αν κάνω λάθος , έτσι την είδα.

ο φίλος σου Διονύσης

Φίλε Διονύση το σφάλμα είναι ότι από την μονοτονία της συνεχούς συνάρτησης $\displaystyle{g\left( x \right) = xf\left( x \right)}$ δεν συνάγεται ότι $\displaystyle{g\left( {\left( {0, + \infty } \right)} \right) = \left( {0, + \infty } \right)}$ .
Ν.Ζ.

dennys · #10

Επειδή $(a,b)\subseteq (0,+\infty)\Rightarrow a>0,b>0$

Απο την γν.αυξουσα g(x)

για το πεδίο τιμών $g((0,+\infty))=(\lim_{x\to 0^{+}}g(x),\lim_{x\to+\infty}g(x))=(0,+\infty)$

αφού $\lim_{x\to 0}g(x)=0 *b=0, \lim_{x\to +\infty}g(x)=a(+\infty)=+\infty$ , ενώ αν ήταν το $a=0,b=+\infty$ οι ανω σχέσεις

οδηγούν σε απροσδιοριστία. $0*(+\infty)$ .

Eτσι αν $f((0,+\infty))=(a,b)$ με ορια στο

το

, και στο $+\infty$ το

, θα είχαμε $\lim_{x\to +\infty}f(f(x))=f(\lim{x\to +\infty}f(x))=f(a)$

ενω $\lim_{x\to +\infty} xf(x)=(+\infty)*a=+\infty$ αδύνατον γιατί το $a \in D_f\Rightarrow$ υπάρχει $x_o<a: f(x_o)>f(a)=+\infty$

αρα οδηγούμαστε στα ατοπα .Εδω τέλος γιατί δεν θέλω να εχω διαφωνίες με συναδέλφους οι οποίοι στο ύψος του Νικου μάλλον έχουν δίκιο.

φιλικά dennys

#11

Μια ερώτηση: Που προκύπτει από τον παραπάνω γόνιμο διάλογο.

Γνωρίζουμε ότι (Σχολικό σελ 196)

Τέλος, αποδεικνύεται ότι:
Aν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα $\displaystyle{(\alpha ,\beta )}$ , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα $\displaystyle{(A ,B )}$ , όπου
$\displaystyle{A =\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)}$ και $\displaystyle{B=\underset{x\to {{\beta }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)}$ .

Οπότε αν μια συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα $\displaystyle{(\alpha ,\beta )}$ , τότε υπάρχουν τα όρια $\displaystyle{\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)}$ και $\displaystyle{\underset{x\to {{\beta }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)}$

Αυτό το συμπέρασμα μπορούμε να το γενικεύσουμε και στην περίπτωση που $\displaystyle{\alpha =-\infty }$ ή $\displaystyle{\beta =+\infty }$ ;

Δηλαδή αν ένας μαθητής γράψει στις εξετάσεις :

Αφού η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο ανοικτό διάστημα $\displaystyle{(-\infty ,\beta )}$ , τότε υπάρχει το όριο $\displaystyle{\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)}$ , θα έχει πρόβλημα με ένα τέτοιο συμπέρασμα ;
Τι λέτε ;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#12

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Μια ερώτηση: ....

Για μια σχετική αναφορά στο Σχολικό Βιβλίο, βλέπε άσκηση 10 iv) σελίδα 199 και τη λύση που προτείνει στο βιβλίο "Λύσεις των ασκήσεων".

#13

rek2 έγραψε:
Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Μια ερώτηση: ....

Για μια σχετική αναφορά στο Σχολικό Βιβλίο, βλέπε άσκηση 10 iv) σελίδα 199 και τη λύση που προτείνει στο βιβλίο "Λύσεις των ασκήσεων".

Κώστα, δεν βλέπω τίποτα !!!

Συνέχεια

Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση