ΑΣΚΗΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

varv19 · #1

Αν $z\in C$ και $z^{4}+z^{2}+1=0$ να αποδείξετε ότι $z^{6\alpha }+z^{6\beta+2 }+z^{6\gamma +4}=0$ , όπου $\alpha ,\beta ,\gamma \in N$ .

#2

Πολλαπλασιάζοντας τη δοσμένη σχέση με z^2

προκύπτει ότι z^6+z^4+z^2=0

, οπότε

.

Τότε:

$\displaystyle{z^{6a}+z^{6 \beta + 2}+z^{6 \gamma + 4}=(z^6)^a+(z^6)^\beta z^2+(z^6)^\gamma z^4}=1+z^2+z^4=0}$

#3

Πολλαπλασιάζοντας την σχέση με z^2-1

έχουμε
$(z^2-1)(z^4+z^2+1)=0\Rightarrow z^6-1=0\Rightarrow z^6=1$
και μετά όπως ο Λευτέρης

#4

Προφανώς υπάρχει και πιο "παλαβός" τρόπος.

Η αρχική εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού ως προς z^2

, οπότε βρίσκουμε ότι $\displaystyle{z^2=\frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}}$ .

Με αντικατάσταση προκύπτει το ζητούμενο, αφού z^6=1

και $\displaystyle{z^4=\frac{-1 \mp i\sqrt{3}}{2}}$ .

dennys · #5

για να δούμε κι έτσι .......

z^6=z^2z^4=z^2(-1-z^2)=-z^2-z^4=1

αρα $(z^6)^{a}+(z^6)^{b}z^2+(z^6)^{c}z^4=1+z^2+z^4=0$

dennys

#6

... ακόμα μία

προοφανώς $z\neq 0$

$z^4+z^2+1=0\iff z^2+1+\dfrac{1}{z^2}=0\iff (z+\dfrac{1}{z})^2=1\iff$

$(z^2+1)^2=z^2\iff z^8=z^2\iff z^6=1$

varv19 · #7

Σας ευχαριστώ πολύ όλους για τις όμορφες λύσεις που παρουσιάσατε.