IMC 2000/1/1

#1

(α) Αληθεύει ότι αν η $f:[0,1]\to [0,1]$ είναι αύξουσα τότε υπάρχει $x \in [0,1]$ με f(x) = x

;
(β) Αληθεύει ότι αν η $f:[0,1]\to [0,1]$ είναι φθίνουσα τότε υπάρχει $x \in [0,1]$ με f(x) = x

;

#2

Η απάντηση στο ερώτημα (α) είναι καταφατική.

Θεωρούμε το σύνολο

$\displaystyle{A = \left\{ {x \in \left[ {0,1} \right]:f\left( x \right) \ge x} \right\}.}$

Το σύνολο $\displaystyle{A}$ είναι μη κενό (γιατί $\displaystyle{0 \in A}$ ) και άνω φραγμένο (από το $\displaystyle{1}$ ). Έστω $\displaystyle{\xi = \sup A \in \left[ {0,1} \right]}$ . Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{f\left( \xi \right) = \xi }$ .

Έστω τυχαίο $\displaystyle{x \in A}$ . Τότε, είναι $\displaystyle{\xi \ge x}$ , κι αφού η $\displaystyle{f}$ είναι αύξουσα, θα είναι $\displaystyle{f\left( \xi \right) \ge f\left( x \right) \ge x}$ . Επομένως, ο αριθμός $\displaystyle{f\left( \xi \right)}$ είναι ένα άνω φράγμα του συνόλου $\displaystyle{A}$ , οπότε

$\displaystyle{f\left( \xi \right) \ge \xi }$ .

Αλλά, πάλι επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι αύξουσα, θα είναι $\displaystyle{f\left( {f\left( \xi \right)} \right) \ge f\left( \xi \right)}$ , οπότε $\displaystyle{f\left( \xi \right) \in A}$ και άρα

$\displaystyle{f\left( \xi \right) \le \xi }$ .

Επομένως, θα ισχύει $\displaystyle{f\left( \xi \right) = \xi }$ .

#3

Η απάντηση στο ερώτημα (β) είναι αρνητική, όπως φαίνεται από το παρακάτω σχήμα. Ο τύπος της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ είναι:

$\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \displaystyle{1 - \frac{x}{2},}&{0 \le x \le \frac{1}{2}}\\ \displaystyle{\frac{{1 - x}}{2},}&{\frac{1}{2} < x \le 1} \end{array}} \right.}$

IMC 2000/1/1

IMC 2000/1/1

Re: IMC 2000/1/1

Re: IMC 2000/1/1

Μέλη σε σύνδεση