IMC 2000/1/2

#1

Έστω

και

. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη μιγαδικών (w,z)

με $w\neq z$ για τα οποία ισχύει ότι p(z) = p(w)

και

.

#2

Demetres έγραψε:Έστω και . Να βρεθούν όλα τα ζεύγη μιγαδικών με $w\neq z$ για τα οποία ισχύει ότι και .

Το ζητούμενο είναι η επίλυση του συστήματος

$\displaystyle{\begin{cases}z^5+z=w^5+w,\\ z^5+z^2=w^5+w^2,\\z\ne w.\end{cases}}$

Με αφαίρεση κατά μέλη είναι άμεσο ότι $\displaystyle{z+w=1.}$

Τότε, η πρώτη εξίσωση γράφεται ως

$\displaystyle{z^5-w^5+z-w=0,}$ δηλαδή, λόγω της τρίτης

$\displaystyle{z^4+z^3w+z^2w^2+zw^3+w^4+1=0}$ (I)

Θέτοντας $\displaystyle{zw=x}$ και επειδή είναι $\displaystyle{z+w=1,}$ η (Ι) γράφεται

$\displaystyle{(1-2x)^2-x^2+x(1-2x)+1=0,}$

δηλαδή $\displaystyle{x^2-3x+2=0\implies x=1\vee x=2.}$

Απομένει να λυθούν οι εξισώσεις

$\displaystyle{t^2-t+1=0,~t^2-t+2=0,}$

από τις οποίες βρίσκουμε

$\displaystyle{a,b=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2},~ a,b=\frac{1\pm i\sqrt{7}}{2}.}$

Η επαλήθευση είναι άμεση.

IMC 2000/1/2

IMC 2000/1/2

Re: IMC 2000/1/2

Μέλη σε σύνδεση