IMC 2000/2/3

#1

Έστω

μιγαδικό πολυώνυμο βαθμού $n \geqslant 1$ . Να δειχθεί ότι υπάρχουν τουλάχιστον n+1

μιγαδικοί αριθμοί

για τους οποίους ισχύει ότι p(z) = 0

ή

.

#2

Είναι γνωστό ότι το πλήθος των διακεκριμένων ριζών του πολυωνύμου $\displaystyle{p\left( z \right)}$ είναι ίσο με $\displaystyle{n - \deg \left( {p,p'} \right)}$ , όπου $\displaystyle{{p'}}$ είναι η παράγωγος του $\displaystyle{p}$ και με $\displaystyle{\left( {p,p'} \right)}$ συμβολίζουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη των πολυωνύμων $\displaystyle{p}$ και $\displaystyle{{p'}}$ .

Όμοια, το πλήθος των διακεκριμένων ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{p\left( z \right) = 1}$ είναι ίσο με $\displaystyle{n - \deg \left( {p - 1,p'} \right)}$ .

Εφόσον τα πολυώνυμα $\displaystyle{p}$ και $\displaystyle{p-1}$ είναι πρώτα μεταξύ τους, το ίδιο θα ισχύει και για τα πολυώνυμα $\displaystyle{\left( {p,p'} \right)}$ και $\displaystyle{\left( {p-1,p'} \right)}$ . Αφού, όμως, καθένα από αυτά διαιρεί το πολυώνυμο $\displaystyle{{p'}}$ (βαθμού $\displaystyle{n - 1}$ ), και το γινόμενό τους θα διαιρεί το $\displaystyle{{p'}}$ . Επομένως, θα είναι:

$\displaystyle{\deg \left( {p,p'} \right) + \deg \left( {p - 1,p'} \right) \le n - 1,}$

οπότε

$\displaystyle{\left[ {n - \deg \left( {p,p'} \right)} \right] + \left[ {n - \deg \left( {p - 1,p'} \right)} \right] \ge n + 1.}$

Το συμπέρασμα έπεται άμεσα από την τελευταία ανισότητα.

IMC 2000/2/3

IMC 2000/2/3

Re: IMC 2000/2/3

Μέλη σε σύνδεση