IMC 1999/1/3

#1

Έστω ότι η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ικανοποιεί την ανισότητα

$\displaystyle{ \left|\sum_{k=1}^n 3^k(f(x+ky)-f(x-ky)) \right| \leqslant 1}$

για κάθε θετικό ακέραιο

και κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ . Να δειχθεί ότι η

είναι σταθερή.

#2

Θέτουμε

$\displaystyle{{S_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {{3^k}\left[ {f\left( {x + ky} \right) - f\left( {x - ky} \right)} \right]} },$

οπότε από την υπόθεση έχουμε ότι $\displaystyle{\left| {{S_n}} \right| \le 1}$ για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ .

Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{{S_n} - {S_{n - 1}} = {3^n}\left[ {f\left( {x + ny} \right) - f\left( {x - ny} \right)} \right]}$

για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ και κάθε $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}.}$

Επομένως,

$\displaystyle{\left| {{3^n}\left[ {f\left( {x + ny} \right) - f\left( {x - ny} \right)} \right]} \right| = \left| {{S_n} - {S_{n - 1}}} \right| \le \left| {{S_n}} \right| + \left| {{S_{n - 1}}} \right| \le 2,}$

δηλαδή

$\displaystyle{\left| {f\left( {x + ny} \right) - f\left( {x - ny} \right)} \right| \le \frac{2}{{{3^n}}}}$ $\bf \color{red} \left( 1 \right)$

για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ και κάθε $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}.}$

Έστω $\displaystyle{t \in \mathbb{R}.}$ Στη σχέση $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ θέτουμε $\displaystyle{x = \frac{t}{2}}$ και $\displaystyle{y = \frac{t}{{2n}}}$ , οπότε προκύπτει ότι

$\displaystyle{\left| {f\left( t \right) - f\left( 0 \right)} \right| \le \frac{2}{{{3^n}}}}$

για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ . Ώστε, ισχύει $\displaystyle{{f\left( t \right) = f\left( 0 \right)}}$ για κάθε $\displaystyle{t \in \mathbb{R}}$ και η $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή.

IMC 1999/1/3

IMC 1999/1/3

Re: IMC 1999/1/3

Μέλη σε σύνδεση