Παράγουσα ''δίκλαδης''

G.Tsikaloudakis · #1

Να βρεθεί στο διάστημα [ - 1,1]

, παράγουσα της συνάρτησης:

$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x\ln x{\rm{ }}{\rm{, x}} > {\rm{0}} \\ 0{\rm{ }}{\rm{, x}} = {\rm{0}} \\ 1 - {\rm{e}}^{\rm{x}} {\rm{ }}{\rm{, x}} < {\rm{0}} \\ \end{array} \right.$

με μέγιστη τιμή , στο [-1,1] , 2011.

Stavroulitsa · #2

Καλησπέρα σας!

Έχω μια λύση, δεν ξερω αν είναι σωστή αλλα με ενδιαφέρει πολύ ο τρόπος διατύπωσης της συγκεκριμένης άσκησης οπότε θα τη γράψω.
Αρχικά θα εξετάσω εαν η συνάρτηση είναι συνεχής στο μηδέν. Οπότε μελετώντας τα όριά της στο μηδέν, από δεξιά και αριστερά έχουμε
$\lim_{x\rightarrow 0^{^{+}}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{^{+}}}x\cdot lnx=\lim_{x\rightarrow 0^{^{+}}}\frac{lnx}{\frac{1}{x}}=(De\; L' Hospital)=\lim_{x\rightarrow 0^{^{+}}}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow 0^{^{+}}}\left(-x \right)=0$
και
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\left(1-e^{x} \right)=1-1=0$
επομένως
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=f(0)=0$
άρα η συνάρτηση είναι συνεχής.
Επομένως έχουμε
$\int_{-1}^{1}{f(x)}dx=\int_{-1}^{0}{f(x)}dx+\int_{0}^{1}{f(x)}dx=\int_{-1}^{0}{\left(1-e^{x} \right)}dx+\int_{0}^{1}{x\cdot lnx}dx=\left[x-e^{x} \right]_{-1}^{0}+\left[x^{2}lnx \right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{x^{2}\cdot \frac{1}{x}}dx$
όμως το $x^{2}lnx$ για x=0

δεν οριζεται, άρα θέτω $\kappa \in \Re$ κοντά στο μηδέν και κοντά στο μηδέν από δεξια θα έχω
$\lim_{k\rightarrow 0^{+}}k^{2}lnk=\lim_{k\rightarrow 0^{+}}\frac{lnk}{\frac{1}{k^{2}}}=\left(De\; L'Hospital \right)=\lim_{k\rightarrow 0^{+}}\left( \frac{\frac{1}{k}}{-2\cdot \frac{1}{k^{3}}}\right)=\lim_{k\rightarrow 0^{+}}\frac{k^{2}}{-2}=0$
άρα έχουμε
$\left[x-e^{x} \right]_{-1}^{0}+\left[x^{2}lnx \right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{x^{2}\cdot \frac{1}{x}}dx=-1+1+\frac{1}{e}+\left[x^{2}lnx \right]_{k}^{1}-\int_{0}^{1}{x}dx=\frac{1}{e}+k^{2}lnk-\left[\frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1}=\frac{1}{e}-\frac{1}{2}$

parmenides51 · #3

Μολονότι η χρήση του ορίου επιβάλλεται, δεν ξέρω κατά πόσο σε λυκειακό επίπεδο λαμβάνεται σωστό

Ας δώσω μια υπόδειξη για εναλλακτική αντιμετώπιση, για να παρακάμψεις το λεπτό σημείο με το όριο

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

περιμένω να την συνεχίσεις, μην σβήσεις την προσπάθεια σου, απλώς χρησιμοποίησε την υπόδειξη μου για λυκειακή λύση

Υ.Γ. Αν πατήσεις δυο συνεχόμενα δολλάρια αντί του tex στην αρχή και το τέλος του κώδικα $\displaystyle{\LaTeX}$ τότε γράφεται καλύτερα το όριο

edit:
Γιατί υπολόγισες το ορισμένο ολοκλήρωμα; μετά είδα τι ζητούσε η εκφώνηση,
το παραπάνω σχόλιο μου αφορούσε τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος που έκανες

Stavroulitsa · #4

Καλημέρα! Τωρα πρόσεξα καλυτερα τι ζητουσε η ασκηση...

Αυτο είναι ένα χαρακτηριστικό μου λάθος, να ζηταει η άσκηση άλλα και εγώ να γράφω άλλα...
Έστω λοιπόν,

είναι η αρχική της

, άρα θα ισχύει F'(x)=f(x)

επομένως εξετάζοντας τα όριά της στο μηδέν, από δεξιά και αριστερά έχουμε
$\lim_{x\rightarrow 0^{^{+}}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{^{+}}}x\cdot lnx=\lim_{x\rightarrow 0^{^{+}}}\frac{lnx}{\frac{1}{x}}=(De\; L' Hospital)=\lim_{x\rightarrow 0^{^{+}}}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow 0^{^{+}}}\left(-x \right)=0$
και
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\left(1-e^{x} \right)=1-1=0$
επομένως
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=f(0)=0$
και συμπεραίνουμε πως η παραγωγος της

είναι συνεχής, αρα αφου είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο θα είναι και η

συνεχής. Επίσης παρατηρούμε πως για $-1\leq x\leq 0$ είναι $F'\left(x \right)=1-e^{x}\leq 0$ και για $0< x\leq 1$ έχουμε $F'\left(x \right)=x\cdot lnx\leq 0$ επομένω η

είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα αφού η μέγιστη τιμή είναι το 2011

, θα είναι $F\left(-1 \right)=2011$
Άρα για $-1\leq x\leq 0$ έχουμε
$F'\left(x \right)=1-e^{x}\Leftrightarrow \left(F\left(x \right) \right)'=\left(x-e^{x} \right)'\Leftrightarrow F\left(x \right)=x-e^{x}+c_{1}$
και για x=-1

έχουμε $F\left(-1 \right)=-1-e^{-1}+c_{1}\Leftrightarrow c_{1}=2012+\frac{1}{e}$ άρα $F\left(x \right)=x-e^{x}+2012+\frac{1}{e}$
και για $0<x\leq 1$ έχουμε
$F'\left(x \right)=x\cdot lnx\Leftrightarrow F'\left(x \right)=x\cdot lnx+\frac{1}{2}\cdot x^{2}\cdot \frac{1}{x}-\frac{x}{2}\Leftrightarrow \left(F\left(x \right) \right)'=\left(\frac{x^{2}lnx}{2}-\frac{x^{2}}{4} \right)'\Rightarrow F\left(x \right)=\frac{x^{2}lnx}{2}-\frac{x^{2}}{4}+c_{2}$
και $F\left(0 \right)=-1+2012+\frac{1}{e}=2011+\frac{1}{e}$ και επειδή η

είναι συνεχής θα πρέπει
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}F\left(x \right)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{x^{2}lnx}{2}-\frac{x^{2}}{4}+c_{2} \right)=2011+\frac{1}{e}$
και $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{2}lnx}{2}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{lnx}{\frac{2}{x^{2}}}=\left(De\; L'Hospital \right)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{2}=0$ οπότε
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{x^{2}lnx}{2}-\frac{x^{2}}{4}+c_{2} \right)=2011+\frac{1}{e}\Leftrightarrow c_{2}=2011+\frac{1}{e}$
άρα έχουμε
$F\left(x \right)=\begin{cases} & x-e^{x} \;, \; -1\leq x\leq 0 \\ & \frac{x^{2}lnx}{2}-\frac{x^{2}}{4}+2011+\frac{1}{e}\;, \; \; \; 0<x\leq1 \end{cases}$
χμμ... δεν ξέρω αν είναι σωστό
Αλλα σε περιπτωση που ζητούσε εμβαδον και η εκφώνηση ηταν διαφορετικη θα ψάξω να βρω και απαντηση για τον τρόπο που προτείνατε.
Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για τη διορθωση...

parmenides51 · #5

Μια βασική διόρθωση : ισχύει πως $\displaystyle{1-e^x>0}$ στο $\displaystyle{[-1,0)}$ (επηρεάζει την μονοτονία και τις σταθερές)

Υπολόγισες σωστά τώρα το ολοκλήρωμα του $\displaystyle{xlnx}$ μιας και στην πρώτη προσπάθεια σου ξέφυγε ένα $\displaystyle{2}$ . Ούτε εγώ το πρόσεξα τότε

Η βασική φιλοσοφία της λύσης σου είναι σωστή.

Μερικά σχόλια για το πρώτο μέρος.
Χρειάζεται μια αναφορά πως η δοθείσα συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων στα διαστήματα $\displaystyle{[-1,0)}$ και $\displaystyle{(0,1]}$ .
Κατόπιν αφού αποδείξεις πως η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{0}$ (όπως έκανες με τον ορισμό) , αρκεί να γράψεις πως η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{[-1,0]}$ άρα είναι ολοκληρώσιμη στο $\displaystyle{[-1,1]}$ , άρα έχει παράγουσα στο $\displaystyle{[-1,1] }$ .
Η δική σου διατύπωση είναι λίγο μπερδεμένη, οπότε καλύτερα χρησιμοποίησε την παραπάνω.

Κι ένα τελευταίο αλλά σημαντικό, επειδή ζητάει παράγουσα, πρώτα αποδεικνύουμε ότι υπάρχει (συνεχής άρα ολοκληρώσιμη άρα έχει αρχική) και μετά πάμε να την βρούμε.

Παράγουσα ''δίκλαδης''

Παράγουσα ''δίκλαδης''

Re: Παράγουσα ''δίκλαδης''

Re: Παράγουσα ''δίκλαδης''

Re: Παράγουσα ''δίκλαδης''

Re: Παράγουσα ''δίκλαδης''

Μέλη σε σύνδεση