Ένα εύκολο θέμα

pito · #1

Δίνεται συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $\displaystyle -x^{3}-5x^{2}\leq (x-1)f(x)\leq -x^{3}+2x^{2}$
Να βρείτε τα όρια :
α) $\displaystyle lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$
β) $\displaystyle lim_{x\rightarrow +\infty}(f^{2}(x)+3f(x)-2)$
γ) $\displaystyle lim_{x\rightarrow +\infty }[\sqrt{4f^{2}(x)+3f(x)+2}+2f(x)]$

EDIT: Το θέμα το προτείνω γιατί έχω κάποιες επιφυλάξεις για το (α).

#2

pito έγραψε:Δίνεται συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $\displaystyle -x^{3}-5x^{2}\leq (x-1)f(x)\leq -x^{3}+2x^{2}$
Να βρείτε τα όρια :
α) $\displaystyle lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$

Για $\displaystyle{x>1}$ ισχύει

$\displaystyle{f(x)\leq \frac{-x^3+2x^2}{x-1}}$ και επειδή $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\frac{-x^3+2x^2}{x-1}=-\infty,}$ είναι και

$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty.}$

Ωστόσο, είναι καλό, ο μαθητής που θα κληθεί να αντιμετωπίσει τέτοια κατάσταση, να επιχειρηματολογήσει ως εξής:

Για $\displaystyle{x}$ αρκετά μεγάλο, έχουμε

$\displaystyle{\frac{-x^3-5x^2}{x-1}\leq f(x)\leq \frac{-x^3+2x^2}{x-1}<0,}$

άρα

$\displaystyle{\frac{x-1}{-x^3-5x^2}\geq \frac{1}{f(x)}\geq \frac{x-1}{-x^3+2x^2},}$

οπότε, από το κριτήριο παρεμβολής είναι

$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{f(x)}=0}$

και επειδή είναι $\displaystyle{f(x)<0,}$ για αρκούντως μεγάλο $\displaystyle{x,}$ είναι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty.}$

pito · #3

Θάνο ακριβώς αυτό ήθελα να τονίσω και εγώ γιατί δεν αναφέρεται κάπου ότι το κριτήριο παρεμβολής εφαρμόζεται όταν το αποτέλεσμα των ορίων είναι (το ίδιο) άπειρο.

Κ κάτι ακόμη, σε περίπτωση που ένας μαθητής υπολογίσει π.χ το όριο $lim_{x\rightarrow +\infty}(x+\sigma \upsilon \nu x)$ με κριτήριο παρεμβολής ( δηλαδή πει ότι
$-1\leq \sigma \upsilon \nu x\leq 1\Leftrightarrow x-1\leq \sigma \upsilon \nu x+x\leq x+1$ και αφού $lim_{x\rightarrow +\infty}(x+1)=lim_{x\rightarrow +\infty}(x-1)=+\infty$ είναι
$lim_{x\rightarrow +\infty}(x+\sigma \upsilon \nu x)=+\infty$ ) πως θα πρέπει να βαθμολογηθεί;

Βαγενας θεοδωρος · #4

Νομίζω ότι το κριτήριο παρεμβολής στα άπειρα, μπορούμε να το επικαλούμαστε, 'χωρίς άγχος' λόγω της παρατήρησης, της παραγράφου 1.7..

Ένα εύκολο θέμα

Ένα εύκολο θέμα

Re: Ένα εύκολο θέμα

Re: Ένα εύκολο θέμα

Re: Ένα εύκολο θέμα

Μέλη σε σύνδεση