ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ*.

[ΝΙΚΟΣ]

Υπάρχει Αρμονική Συνευθειακή Εξάδα Σημείων;

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Είναι γνωστή η «Αρμονική Τετράδα Σημείων», οι τρόποι Κατασκευή της και ιδιότητες της (Κριτήρια).

Με το συνημμένο μου , έδωσα τον ορισμό της «Αρμονικής Οκτάδας Συνευθειακών Σημείων» και στη συνέχεια είδαμε τους τρόπους Κατασκευής της, αλλά και τις ιδιότητές της με τη μορφή Κριτηρίων.

Τίθενται τα ερωτήματα:
Υπάρχει Αρμονική Συνευθειακή Εξάδα Σημείων;
Ποίος ο Ορισμός της;
Για τα ερωτήματα αυτά, προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις απαντήσεις τους.

Δικές μου απαντήσεις στα ερωτήματα αυτά, θα ακολουθήσουν και σε περίπτωση που η απάντηση είναι θετική, θα ασχοληθούμε με τους τρόπους Κατασκευής της, αλλά και με τις ιδιότητες της, με τη μορφή Κριτηρίων.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Υπάρχει Αρμονική Συνευθειακή Εξάδα Σημείων;

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Είναι γνωστή η «Αρμονική Τετράδα Σημείων», οι τρόποι Κατασκευή της και ιδιότητες της (Κριτήρια).

Με το συνημμένο μου , έδωσα τον ορισμό της «Αρμονικής Οκτάδας Συνευθειακών Σημείων» και στη συνέχεια είδαμε τους τρόπους Κατασκευής της, αλλά και τις ιδιότητές της με τη μορφή Κριτηρίων.

Τίθενται τα ερωτήματα:
Υπάρχει Αρμονική Συνευθειακή Εξάδα Σημείων;
Ποίος ο Ορισμός της;
Για τα ερωτήματα αυτά, προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις απαντήσεις τους.

Δικές μου απαντήσεις στα ερωτήματα αυτά, θα ακολουθήσουν και σε περίπτωση που η απάντηση είναι θετική, θα ασχοληθούμε με τους τρόπους Κατασκευής της, αλλά και με τις ιδιότητες της, με τη μορφή Κριτηρίων.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΕΣ ΚΑΙ ΟΜΟΚΥΚΛΙΚΕΣ ΕΞΑΔΕΣ ΣΗΜΕΙΩΝ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
διαπίστωσα ότι υπάρχουν πραγματικά «Aρμονικές Συνευθειακές Εξάδες Σημείων».
Κατόπιν τούτου, με το παρακάτω συνημμένο μου , δίνω τον σχετικό ορισμό και όχι μόνο.

Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με τους τρόπους Κατασκευής μιας τυχαίας «Aρμονικής Συνευθειακής Εξάδας Σημείων»
και με Κριτήρια Αρμονικότητάς της, όπως και με τις «Aρμονικές Κυκλικές Εξάδες Σημείων» (Αρμονικά Εξάπλευρα),
με όσα στοιχεία δεν έχουμε δώσει σε άλλη μας εργασία που έχει αναρτηθεί εδώ παλιότερα.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Υπάρχει Αρμονική Συνευθειακή Εξάδα Σημείων;

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Είναι γνωστή η «Αρμονική Τετράδα Σημείων», οι τρόποι Κατασκευή της και ιδιότητες της (Κριτήρια).

Με το συνημμένο μου , έδωσα τον ορισμό της «Αρμονικής Οκτάδας Συνευθειακών Σημείων» και στη συνέχεια είδαμε τους τρόπους Κατασκευής της, αλλά και τις ιδιότητές της με τη μορφή Κριτηρίων.

Τίθενται τα ερωτήματα:
Υπάρχει Αρμονική Συνευθειακή Εξάδα Σημείων;
Ποίος ο Ορισμός της;
Για τα ερωτήματα αυτά, προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις απαντήσεις τους.

Δικές μου απαντήσεις στα ερωτήματα αυτά, θα ακολουθήσουν και σε περίπτωση που η απάντηση είναι θετική, θα ασχοληθούμε με τους τρόπους Κατασκευής της, αλλά και με τις ιδιότητες της, με τη μορφή Κριτηρίων.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΕΣ ΚΑΙ ΟΜΟΚΥΚΛΙΚΕΣ ΕΞΑΔΕΣ ΣΗΜΕΙΩΝ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
διαπίστωσα ότι υπάρχουν πραγματικά «Aρμονικές Συνευθειακές Εξάδες Σημείων».
Κατόπιν τούτου, με το παρακάτω συνημμένο μου , δίνω τον σχετικό ορισμό και όχι μόνο.

Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με τους τρόπους Κατασκευής μιας τυχαίας «Aρμονικής Συνευθειακής Εξάδας Σημείων»
και με Κριτήρια Αρμονικότητάς της, όπως και με τις «Aρμονικές Κυκλικές Εξάδες Σημείων» (Αρμονικά Εξάπλευρα),
με όσα στοιχεία δεν έχουμε δώσει σε άλλη μας εργασία που έχει αναρτηθεί εδώ παλιότερα.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΕΞΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ.
(Αρμονικό Εξάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά την παραπάνω διαπίστωση και υπόσχεσή μου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα Κατασκευής Αρμονικής Συνευθειακής Εξάδας Σημείων, που ομολογώ ότι είναι Πρόβλημα για λίγους. Συνεπώς όσοι επιτύχουν λύση θα αμειφθούν Γεωμετρικά πλουσιοπάροχα.
Δικές μου λύσεις θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής.
. Σε δοσμένη ευθεία να οριστούν έξι διατεταγμένα σημεία , τα οποία να αποτελούν τυχαία Αρμονική Εξάδα,
ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευαστεί τυχαίο Αρμονικό Εξάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία.

Σχόλια.
(α). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ το καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Εδώ προτιμώ τον όρο εξάπλευρο, οκτάπλευρο, κτλ, αντί του όρου εξάγωνο, οκτάγωνο, κτλ.
(γ). Η Κατασκευή προφανώς αποτελεί επέκταση της Πρότασης και για Αρμονική Συνευθειακή Εξάδα Σημείων.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Υπάρχει Αρμονική Συνευθειακή Εξάδα Σημείων;

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Είναι γνωστή η «Αρμονική Τετράδα Σημείων», οι τρόποι Κατασκευή της και ιδιότητες της (Κριτήρια).

Με το συνημμένο μου , έδωσα τον ορισμό της «Αρμονικής Οκτάδας Συνευθειακών Σημείων» και στη συνέχεια είδαμε τους τρόπους Κατασκευής της, αλλά και τις ιδιότητές της με τη μορφή Κριτηρίων.

Τίθενται τα ερωτήματα:
Υπάρχει Αρμονική Συνευθειακή Εξάδα Σημείων;
Ποίος ο Ορισμός της;
Για τα ερωτήματα αυτά, προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις απαντήσεις τους.

Δικές μου απαντήσεις στα ερωτήματα αυτά, θα ακολουθήσουν και σε περίπτωση που η απάντηση είναι θετική, θα ασχοληθούμε με τους τρόπους Κατασκευής της, αλλά και με τις ιδιότητες της, με τη μορφή Κριτηρίων.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΕΣ ΚΑΙ ΟΜΟΚΥΚΛΙΚΕΣ ΕΞΑΔΕΣ ΣΗΜΕΙΩΝ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
διαπίστωσα ότι υπάρχουν πραγματικά «Aρμονικές Συνευθειακές Εξάδες Σημείων».
Κατόπιν τούτου, με το παρακάτω συνημμένο μου , δίνω τον σχετικό ορισμό και όχι μόνο.

Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με τους τρόπους Κατασκευής μιας τυχαίας «Aρμονικής Συνευθειακής Εξάδας Σημείων»
και με Κριτήρια Αρμονικότητάς της, όπως και με τις «Aρμονικές Κυκλικές Εξάδες Σημείων» (Αρμονικά Εξάπλευρα),
με όσα στοιχεία δεν έχουμε δώσει σε άλλη μας εργασία που έχει αναρτηθεί εδώ παλιότερα.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΕΞΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ.
(Αρμονικό Εξάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά την παραπάνω διαπίστωση και υπόσχεσή μου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα Κατασκευής Αρμονικής Συνευθειακής Εξάδας Σημείων, που ομολογώ ότι είναι Πρόβλημα για λίγους. Συνεπώς όσοι επιτύχουν λύση θα αμειφθούν Γεωμετρικά πλουσιοπάροχα.
Δικές μου λύσεις θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής.
. Σε δοσμένη ευθεία να οριστούν έξι διατεταγμένα σημεία , τα οποία να αποτελούν τυχαία Αρμονική Εξάδα,
ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευαστεί τυχαίο Αρμονικό Εξάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία.

Σχόλια.
(α). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ το καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Εδώ προτιμώ τον όρο εξάπλευρο, οκτάπλευρο, κτλ, αντί του όρου εξάγωνο, οκτάγωνο, κτλ.
(γ). Η Κατασκευή προφανώς αποτελεί επέκταση της Πρότασης και για Αρμονική Συνευθειακή Εξάδα Σημείων.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΕΞΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Εξάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί λύσεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Υπογραμμίζουμε εδώ, ότι με βάση την λύση της Κατασκευής αυτής, έχουμε δόσει εύκολες και πρακτικές κατασκευές σε Αρμονικές, Τετράδες, Εξάδες, Οκτάδες, Δεκάδες, Δωδεκάδες, σημείων κτλ.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΠΛΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΕΞΑΠΛΕΥΡΟΥ
(Αρμονική Ομοκυκλική Εξάδα).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά την παραπάνω Κατασκευή Αρμονικής Συνευθειακής Εξάδας Σημείων και την υπόσχεσή μου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα , που αφορά στην Κατασκευή Αρμονικής Ομοκυκλικής Εξάδας Σημείων ή Απλού Αρμονικού Εξάπλευρου.
Δικές μου λύσεις θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Όπως και αλλού έχω αναφέρει, το Πρόβλημα αυτό έχω αντιμετωπίσει διεξοδικά και στο βιβλίο μου "Εγγεγραμμένα-Περιγεγραμμένα Σχήματα", αλλά εκεί το έχω προσεγγύσει διαφορετικά, αλλά και από διαφορετικό δρόμο.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής:
. Σε δοσμένο κύκλο , να οριστούν έξι διατεταγμένα σημεία , τα οποία να αποτελούν τις κορυφές τυχαίου Απλού Αρμονικού Εξάπλευρου, ή να αποτελούν Αρμονική Ομοκυκλική Εξάδα Σημείων,
ή με άλλη πιο απλή διατύπωση:
Να κατασκευαστεί τυχαίο Απλό Αρμονικό Εξάπλευρο.

Σχόλια.
(α). Η Κατασκευή αποτελεί προφανώς επέκταση της Πρότασης , από συνευθειακή και σε Ομοκυκλική Αρμονική Εξάδα Σημείων.
(β). Εδώ προτιμώ τον όρο εξάπλευρο, οκτάπλευρο, κτλ, αντί του όρου εξάγωνο, οκτάγωνο, κτλ.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΠΛΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΕΞΑΠΛΕΥΡΟΥ
(Αρμονική Ομοκυκλική Εξάδα).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά την παραπάνω Κατασκευή Αρμονικής Συνευθειακής Εξάδας Σημείων και την υπόσχεσή μου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα , που αφορά στην Κατασκευή Αρμονικής Ομοκυκλικής Εξάδας Σημείων ή Απλού Αρμονικού Εξάπλευρου.
Δικές μου λύσεις θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Όπως και αλλού έχω αναφέρει, το Πρόβλημα αυτό έχω αντιμετωπίσει διεξοδικά και στο βιβλίο μου "Εγγεγραμμένα-Περιγεγραμμένα Σχήματα", αλλά εκεί το έχω προσεγγύσει διαφορετικά, αλλά και από διαφορετικό δρόμο.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής:
. Σε δοσμένο κύκλο , να οριστούν έξι διατεταγμένα σημεία , τα οποία να αποτελούν τις κορυφές τυχαίου Απλού Αρμονικού Εξάπλευρου, ή να αποτελούν Αρμονική Ομοκυκλική Εξάδα Σημείων,
ή με άλλη πιο απλή διατύπωση:
Να κατασκευαστεί τυχαίο Απλό Αρμονικό Εξάπλευρο.

Σχόλια.
(α). Η Κατασκευή αποτελεί προφανώς επέκταση της Πρότασης , από συνευθειακή και σε Ομοκυκλική Αρμονική Εξάδα Σημείων.
(β). Εδώ προτιμώ τον όρο εξάπλευρο, οκτάπλευρο, κτλ, αντί του όρου εξάγωνο, οκτάγωνο, κτλ.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΠΛΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΕΞΑΠΛΕΥΡΟΥ
(Αρμονική Ομοκυκλική Εξάδα).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί λύσεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Ας σημειωθεί ότι δύο άλλες κομψές αποδείξεις της Κατασκευής αυτής (περίπτωσης ), έχουμε ανάρτηση στο mathematica [Πρόταση (συνημμένο μου ], με άλλη εργασία μας (τις αποδείξεις αυτές θα αναρτήσουμε και εδώ προσεχώς).


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΠΛΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΕΞΑΠΛΕΥΡΟΥ
(Αρμονική Ομοκυκλική Εξάδα).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά την παραπάνω Κατασκευή Αρμονικής Συνευθειακής Εξάδας Σημείων και την υπόσχεσή μου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα , που αφορά στην Κατασκευή Αρμονικής Ομοκυκλικής Εξάδας Σημείων ή Απλού Αρμονικού Εξάπλευρου.
Δικές μου λύσεις θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Όπως και αλλού έχω αναφέρει, το Πρόβλημα αυτό έχω αντιμετωπίσει διεξοδικά και στο βιβλίο μου "Εγγεγραμμένα-Περιγεγραμμένα Σχήματα", αλλά εκεί το έχω προσεγγύσει διαφορετικά, αλλά και από διαφορετικό δρόμο.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής:
. Σε δοσμένο κύκλο , να οριστούν έξι διατεταγμένα σημεία , τα οποία να αποτελούν τις κορυφές τυχαίου Απλού Αρμονικού Εξάπλευρου, ή να αποτελούν Αρμονική Ομοκυκλική Εξάδα Σημείων,
ή με άλλη πιο απλή διατύπωση:
Να κατασκευαστεί τυχαίο Απλό Αρμονικό Εξάπλευρο.

Σχόλια.
(α). Η Κατασκευή αποτελεί προφανώς επέκταση της Πρότασης , από συνευθειακή και σε Ομοκυκλική Αρμονική Εξάδα Σημείων.
(β). Εδώ προτιμώ τον όρο εξάπλευρο, οκτάπλευρο, κτλ, αντί του όρου εξάγωνο, οκτάγωνο, κτλ.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΠΛΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΕΞΑΠΛΕΥΡΟΥ
(Αρμονική Ομοκυκλική Εξάδα).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί λύσεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Ας σημειωθεί ότι δύο άλλες κομψές αποδείξεις της Κατασκευής αυτής (περίπτωσης ), έχουμε ανάρτηση στο mathematica [Πρόταση (συνημμένο μου ], με άλλη εργασία μας (τις αποδείξεις αυτές θα αναρτήσουμε και εδώ προσεχώς).


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΠΛΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΕΞΑΠΛΕΥΡΟΥ
(Αρμονική Ομοκυκλική Εξάδα).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
επειδή πολύ συχνά, στην εργασία αυτή, μας χρειάστηκαν, αλλά και θα μας χρειαστούν, ορισμένες βοηθητικές Προτάσεις (Λήμματα), θα τις αναρτήσω κι εδώ, όταν μου δίνεται η ευκαιρία, αν και πολλές από αυτές τις έχω αναρτήσει και άλλοτε στo mathematica.

Επειδή, τα Λήμματα αυτά δεν προέρχονται από το νέο βιβλίο μου που τώρα εδώ κτίζω, με το υλικό που αναρτώ στην εργασία μου αυτή εδώ και όχι μόνο και επειδή από την αιτία αυτή στα Λήμματα αυτά, αναγράφονται και κάποιες παραπομπές και αριθμήσεις, άσχετες με την εδώ εργασία, οι αναγνώστες φίλοι, θα πρέπει να τις παρακάμπτουν.

Πιστεύω ότι , έστω και έτσι, τα Λήμματα αυτά θα λύσουν απορίες αφού θα ικανοποιούν την ουσία του λόγου που αναρτώνται εδώ και που πιστέυω ότι θα βοήθήσουν τους ενδιαφερόμενους φίλους, ώστε να μην τους παραπέμπουμε σε βιβλία μου, τα οποία δεν διαθέτουν όλοι.

Έτσι με την έννοια αυτή, παρακάτω με το συνημμένο μου , δίνω τη βοηθητική Πρόταση (Λήμμα), όπως και παραπάνω έχω υποσχεθεί.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Υπάρχει Αρμονική Συνευθειακή Εξάδα Σημείων;


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
[/b]

ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΕΣ ΚΑΙ ΟΜΟΚΥΚΛΙΚΕΣ ΕΞΑΔΕΣ ΣΗΜΕΙΩΝ.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
[/b]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΕΞΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ.
(Αρμονικό Εξάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά την παραπάνω διαπίστωση και υπόσχεσή μου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα Κατασκευής Αρμονικής Συνευθειακής Εξάδας Σημείων, που ομολογώ ότι είναι Πρόβλημα για λίγους. Συνεπώς όσοι επιτύχουν λύση θα αμειφθούν Γεωμετρικά πλουσιοπάροχα.
Δικές μου λύσεις θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής.
. Σε δοσμένη ευθεία να οριστούν έξι διατεταγμένα σημεία , τα οποία να αποτελούν τυχαία Αρμονική Εξάδα,
ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευαστεί τυχαίο Αρμονικό Εξάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία.

Σχόλια.
(α). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ το καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Εδώ προτιμώ τον όρο εξάπλευρο, οκτάπλευρο, κτλ, αντί του όρου εξάγωνο, οκτάγωνο, κτλ.
(γ). Η Κατασκευή προφανώς αποτελεί επέκταση της Πρότασης και για Αρμονική Συνευθειακή Εξάδα Σημείων.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΕΞΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Εξάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί λύσεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Υπογραμμίζουμε εδώ, ότι με βάση την λύση της Κατασκευής αυτής, έχουμε δόσει εύκολες και πρακτικές κατασκευές σε Αρμονικές, Τετράδες, Εξάδες, Οκτάδες, Δεκάδες, Δωδεκάδες, σημείων κτλ.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΕΥΚΟΛΟΤΕΡΗ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΟΤΕΡΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΕΞΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Εξάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με την παραπάνω Κατασκευή (συνημμένο μου ), αναρτήσαμε έναν πιο θεωρητικό τρόπου Κατασκευής Συνευθειακής Αρμονικής Εξάδας Σημείων.

Σήμερα, όπως σας έχουμε υποσχεθεί, με το παρακάτω συνημμένο μας [Κατασκευή ], δίνουμε έναν νέο ευκολότερο και πρακτικότερο τρόπο (Μέθοδο) κατασκευής της παραπάνω Αρμονικής Εξάδας, αλλά που βασίζεται στον παραπάνω θεωρητικό τρόπο.

Μετά τον παραπάνω νέο τρόπο (Μέθοδο), ανοίγεται ο δρόμος ώστε με την εφαρμογή της ίδιας παραπάνω Νέας Μεθόδου, να έχουμε τη λύση και των Προβλημάτων κατασκευής Αρμονικής, Πεντάδας, Δεκάδας, Δωδεκάδας, σημείων, κτλ.

Αν μας δοθεί η ευκαιρία θα δώσουμε και τους ορισμούς της Αρμονικής, Πεντάδες, Δεκάδας, Δωδεκάδας, σημείων, κτλ, ώστε στη συνέχεια, με την εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου να κατασκευάσουμε την Αρμονική, Πεντάδα, Δεκάδα, Δωδεκάδα, σημείων, κτλ. Μέχρι τότε προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους να προβληματισθούν, ασχοληθούν με τα θέματα αυτά και να μας δώσουν τις δικές τους σχετικές λύσεις για τις Κατασκευές Αρμονικής, Πεντάδας, Δεκάδας, Δωδεκάδας, κτλ

Σχόλιο.
Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ και το καταχωρήσαμε στην παράγραφο του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω για απόδειξη την παρακάτω βοηθητική Πρόταση (λήμμα), η οποία αναφέρεται σε ένα σημαντικό Κριτήριο Αρμονικότητας εγγεγραμμένου Τετράπλευρου (Το δωδέκατο).

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Ας σημειωθεί, ότι το Κριτήριο αυτό είναι σημαντικό γιατί βρίσκει πολλές αφαρμογές, ότι η απόδειξή του είναι εύκολη και ότι ανάλογα Κριτήρια αληθεύουν και στα Αρμονικά , Εξάπλευρα, Οκτάπλευρα (που θα ακολουθήσει), κτλ.

Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
. Κάθε κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο τετράπλευρο , είναι Αρμονικό, αν και μόνο αν, η δέσμη που έχει κέντρο τυχαίο σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου , είναι αρμονική.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Σπουδαία Επέκταση του Κρτήριου , από Αρμονικό Τετράπλευρο και σε Αρμονικό Eξάπλευρο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι ανάλογο με το παραπάνω Κριτήριο , διατύπωση και αποδείξη του οποίου έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε Αρμονικό Εξάπλευρο (Σημειώνουμε ότι ανάλογο κριτήριο αληθεύει και στο Αρμονικό Οκτάπλευρο , Δεκάπλευρο, κτλ).

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την επέκταση του παραπάνω Κριτήριου και για Αρμονικό Εξάπλευρο και να μας δώσουν την απόδειξή του. Δική μου σχετική διατύπωση και απόδειξη, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με τα συνημμένα μας και .


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω για απόδειξη την παρακάτω βοηθητική Πρόταση (λήμμα), η οποία αναφέρεται σε ένα σημαντικό Κριτήριο Αρμονικότητας εγγεγραμμένου Τετράπλευρου (Το δωδέκατο).

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Ας σημειωθεί, ότι το Κριτήριο αυτό είναι σημαντικό γιατί βρίσκει πολλές αφαρμογές, ότι η απόδειξή του είναι εύκολη και ότι ανάλογα Κριτήρια αληθεύουν και στα Αρμονικά , Εξάπλευρα, Οκτάπλευρα (που θα ακολουθήσει), κτλ.

Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
. Κάθε κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο τετράπλευρο , είναι Αρμονικό, αν και μόνο αν, η δέσμη που έχει κέντρο τυχαίο σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου , είναι αρμονική.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Σπουδαία Επέκταση του Κρτήριου , από Αρμονικό Τετράπλευρο και σε Αρμονικό Eξάπλευρο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι ανάλογο με το παραπάνω Κριτήριο , διατύπωση και αποδείξη του οποίου έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε Αρμονικό Εξάπλευρο (Σημειώνουμε ότι ανάλογο κριτήριο αληθεύει και στο Αρμονικό Οκτάπλευρο , Δεκάπλευρο, κτλ).

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την επέκταση του παραπάνω Κριτήριου και για Αρμονικό Εξάπλευρο και να μας δώσουν την απόδειξή του. Δική μου σχετική διατύπωση και απόδειξη, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με τα συνημμένα μας και .


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΥ ΕΞΑΠΛΕΥΡΟΥ.
[Επέκταση του Κριτήριου και σε Αρμονικό Εξάπλευρο].

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδιαφερόμενους φίλους, δίνουμε παρακάτω για απόδειξη την διατύπωση του νέου και πρωτοεμφανιζόμενου πιστεύω Κριτηρίου Αρμονικότητας , το οποίο είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί.

Πρόκειται για ένα κριτήριο, που αποτελεί επέκταση του Κριτηρίου , από Αρμονικό Τετράπλευρο και σε Αρμονικό Εξάπλευρο, το οποίο είναι πολύ σημαντικό, γιατί μας επιτρέπει να έχουμε έναν άλλο ΟΡΙΣΜΟ, από τον αρχικό μας (ορισμό) (συνημμένο μου ), για τις Αρμονικές Δέσμες, αλλά και γιατί βρίσκει πολλές εφαρμογές, όπως θα διαπιστώσουμε στο εξής.

Προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με τα συνημμένα μας και .


Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
. Κάθε κυρτό εγγεγραμμένο σε κύklo εξάπλευρο , είναι Αρμονικό, αν και μόνο αν, η δέσμη που έχει κέντρο τυχαίο σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου , είναι αρμονική.

Σχόλιο.
Το παραπάνω Κριτήριο, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω για απόδειξη την παρακάτω βοηθητική Πρόταση (λήμμα), η οποία αναφέρεται σε ένα σημαντικό Κριτήριο Αρμονικότητας εγγεγραμμένου Τετράπλευρου (Το δωδέκατο).

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Ας σημειωθεί, ότι το Κριτήριο αυτό είναι σημαντικό γιατί βρίσκει πολλές εφαρμογές, ότι η απόδειξή του είναι εύκολη και ότι ανάλογα Κριτήρια αληθεύουν και στα Αρμονικά , Εξάπλευρα, Οκτάπλευρα (που θα ακολουθήσει), κτλ.

Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
. Κάθε κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο τετράπλευρο , είναι Αρμονικό, αν και μόνο αν, η δέσμη που έχει κέντρο τυχαίο σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου , είναι αρμονική.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Σπουδαία Επέκταση του Κρτήριου , από Αρμονικό Τετράπλευρο και σε Αρμονικό Eξάπλευρο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι ανάλογο με το παραπάνω Κριτήριο , διατύπωση και αποδείξη του οποίου έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε Αρμονικό Εξάπλευρο (Σημειώνουμε ότι ανάλογο κριτήριο αληθεύει και στο Αρμονικό Οκτάπλευρο , Δεκάπλευρο, κτλ).

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την επέκταση του παραπάνω Κριτήριου και για Αρμονικό Εξάπλευρο και να μας δώσουν την απόδειξή του. Δική μου σχετική διατύπωση και απόδειξη, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με τα συνημμένα μας και .


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΥ ΕΞΑΠΛΕΥΡΟΥ.
[Επέκταση του Κριτήριου και σε Αρμονικό Εξάπλευρο].

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδιαφερόμενους φίλους, δίνουμε παρακάτω για απόδειξη την διατύπωση του νέου και πρωτοεμφανιζόμενου πιστεύω Κριτηρίου Αρμονικότητας , το οποίο είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί.

Πρόκειται για ένα κριτήριο, που αποτελεί επέκταση του Κριτηρίου , από Αρμονικό Τετράπλευρο και σε Αρμονικό Εξάπλευρο, το οποίο είναι πολύ σημαντικό, γιατί μας επιτρέπει να έχουμε έναν άλλο ΟΡΙΣΜΟ, από τον αρχικό μας (ορισμό) (συνημμένο μου ), για τις Αρμονικές Δέσμες, αλλά και γιατί βρίσκει πολλές εφαρμογές, όπως θα διαπιστώσουμε στο εξής.

Προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με τα συνημμένα μας και .


Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
. Κάθε κυρτό εγγεγραμμένο σε κύklo εξάπλευρο , είναι Αρμονικό, αν και μόνο αν, η δέσμη που έχει κέντρο τυχαίο σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου , είναι αρμονική.

Σχόλιο.
Το παραπάνω Κριτήριο, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΥ ΕΞΑΠΛΕΥΡΟΥ.


Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου της παραπάνω Πρόοτασης , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί αποδείξεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους, αποδείξεις-λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Ας σημειωθεί, ότι το Κριτήριο αυτό είναι σημαντικό γιατί βρίσκει πολλές εφαρμογές και ότι ανάλογα Κριτήρια αληθεύουν και στα Απλά Αρμονικά , Τετράπλευρα, Οκτάπλευρα, Δεκάπλευρα (που θα ακολουθήσει), κτλ.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Σημαντική Επέκταση της Πρότασης 11(76), από Αρμονικό Τετράπλευρο και σε Αρμονικό Εξάπλευρο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω για απόδειξη την παρακάτω Πρόταση 11(83), η οποία αναφέρεται σε εξάπλευρο. Πιστεύω ότι είναι νέα και πρωτοεμφανίζεται εδώ . Πρόκειται για Πρόταση, που θα μας χρειασθεί στη συνέχεια.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δύο δικές μου απόδειξεις, θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Ας σημειωθεί, ότι ανάλογες Προτάσεις αληθεύουν στο Τετράγωνο 11(76) και στα Κανονικά, Οκτάπλευρα, Δεκάπλευρα , κτλ.

Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
11(83). Κάθε Κεντρική Δέσμη Έξι Ακτινών, που έχει κέντρο τυχαίο σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου Κανονικού Εξάπλευρου και της οποίας (δέσμης) ανά μία ακτίνα περνά από μια κορυφή του Κανονικού Εξάπλευρου αυτού, είναι Αρμονική (εκτός από Κανονική που προφανώς είναι).

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(83) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Σημαντική Επέκταση της Πρότασης 11(76), από Αρμονικό Τετράπλευρο και σε Αρμονικό Εξάπλευρο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω για απόδειξη την παρακάτω Πρόταση 11(83), η οποία αναφέρεται σε εξάπλευρο. Πιστεύω ότι είναι νέα και πρωτοεμφανίζεται εδώ . Πρόκειται για Πρόταση, που θα μας χρειασθεί στη συνέχεια.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δύο δικές μου απόδειξεις, θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Ας σημειωθεί, ότι ανάλογες Προτάσεις αληθεύουν στο Τετράγωνο 11(76) και στα Κανονικά, Οκτάπλευρα, Δεκάπλευρα , κτλ.

Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
11(83). Κάθε Κεντρική Δέσμη Έξι Ακτινών, που έχει κέντρο τυχαίο σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου Κανονικού Εξάπλευρου και της οποίας (δέσμης) ανά μία ακτίνα περνά από μια κορυφή του Κανονικού Εξάπλευρου αυτού, είναι Αρμονική (εκτός από Κανονική που προφανώς είναι).

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(83) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ .

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,

με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω δύο αποδείξεις μου της παραπάνω Πρότασης , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί αποδείξεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους, αποδείξεις-λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Aς σημειωθεί ότι, ανάλογες Προτάσεις ισχύουν και για άλλα Κανονικά Πολύπλευρα, όπως για Κανονικά Οκτάπλευρα, Δεκάπλευρα, κτλ.

Αγαπητοί φίλοι, μετά και την απόδειξη της Πρότασης , ανοίγεται ο δρόμος για την εύκολη λύση του Προβλήματος , «ΕΙΚΟΣΑΕΤΙΑΣ» και για εξάπλευρα, με τη χρήση της Μεθόδου του «ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ», όπως τα έχουμε ονομάσει και τα οποία (Πρόβλημα και Μέθοδο και για εξάπλευρα), θα ακολουθήσουν.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΝΕΑ ΠΟΛΥ ΕΥΚΟΛΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΕΤΡΑΔΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα Κατασκευής Αρμονικής Συνευθειακής και Ομοκικλικής Τετράδας Σημείων, που ομολογώ ότι είναι Πρόβλημα πολύ χρήσιμο γιατί σε αυτό θα βασισθούν άλλες Κατασκευές πολύ υψηλού επιπέδου, αλλά και πολύ εύκολο, σε σημείο που είναι δύσκολο να πιστέψει κανείς ότι δεν είναι δυνατό να λυθεί από Γεωμέτρη.
Δική μου λύση θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής.
. Να κατασκευασθεί Αρμονικό Τετράπλευρο, με βάση μία Αρμονική Τετράδα Σημείων, που μας δίνεται, και αντίστροφα, να κατασκευαστεί μία Αρμονική Τετράδα Σημείων με βάση, ένα Αρμονικό Τετράπλευρο, που μας δίνεται.

Σχόλια.
(α). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ το καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Η Κατασκευή προφανώς αποτελεί επέκταση γνωστής μας Κατασκευής αλλά και της Κατασκευής (συνημμένο μου ).


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΝΕΑ ΠΟΛΥ ΕΥΚΟΛΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΕΤΡΑΔΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα Κατασκευής Αρμονικής Συνευθειακής και Ομοκικλικής Τετράδας Σημείων, που ομολογώ ότι είναι Πρόβλημα πολύ χρήσιμο γιατί σε αυτό θα βασισθούν άλλες Κατασκευές πολύ υψηλού επιπέδου, αλλά και πολύ εύκολο, σε σημείο που είναι δύσκολο να πιστέψει κανείς ότι δεν είναι δυνατό να λυθεί από Γεωμέτρη.
Δική μου λύση θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής.
. Να κατασκευασθεί Αρμονικό Τετράπλευρο, με βάση μία Αρμονική Τετράδα Σημείων, που μας δίνεται, και αντίστροφα, να κατασκευαστεί μία Αρμονική Τετράδα Σημείων με βάση, ένα Αρμονικό Τετράπλευρο, που μας δίνεται.

Σχόλια.
(α). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ το καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Η Κατασκευή προφανώς αποτελεί επέκταση γνωστής μας Κατασκευής αλλά και της Κατασκευής (συνημμένο μου ).


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΝΕΑ ΠΟΛΥ ΕΥΚΟΛΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΕΤΡΑΔΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί λύσεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Υπογραμμίζουμε εδώ, ότι με βάση την λύση της Κατασκευής αυτής, έχουμε δόσει εύκολες και πρακτικές κατασκευές σε Αρμονικές, Εξάδες, Οκτάδες, Δεκάδες, Δωδεκάδες, σημείων κτλ.

Υπενθυμίζουμε ότι, κομψές λύσεις σχετικών Κατασκευών, έχουμε ανάρτηση παραπάνω [Κατασκευή (συνημμένο μου ) και (συνημμένο μου )].

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΝΕΑ ΠΟΛΥ ΕΥΚΟΛΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ ΑΠΟ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΕΤΡΑΔΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα Κατασκευής Αμονονικής Συνευθειακής Τετράδας Σημείων και Τετράγωνου, που είναι Πρόβλημα πολύ χρήσιμο γιατί σε αυτό θα βασισθούν άλλες Κατασκευές πολύ υψηλού επιπέδου, αλλά είναι και πολύ εύκολη, σε σημείο που είναι δύσκολο να πιστέψει κανείς ότι δεν είναι δυνατό να λυθεί από Γεωμέτρη.
Δική μου λύση θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα, λαμβανομένης υπόψη και της ευκολίας λύσης της.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής.
Να κατασκευασθεί Τετράγωνο, με βάση μία Αρμονική Τετράδα Σημείων, που μας δίνεται, και αντίστροφα, να κατασκευαστεί μία Αρμονική Τετράδα Σημείων με βάση ένα Τετράγωνο, που μας δίνεται.

Σχόλια.
(α). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ το καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Η Κατασκευή προφανώς αποτελεί μία νέα λύση γνωστών μας Κατασκευών, αλλά και της Κατασκευής (συνημμένο μου ).


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΝΕΑ ΠΟΛΥ ΕΥΚΟΛΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ ΑΠΟ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΕΤΡΑΔΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα Κατασκευής Αμονονικής Συνευθειακής Τετράδας Σημείων και Τετράγωνου, που είναι Πρόβλημα πολύ χρήσιμο γιατί σε αυτό θα βασισθούν άλλες Κατασκευές πολύ υψηλού επιπέδου, αλλά είναι και πολύ εύκολη, σε σημείο που είναι δύσκολο να πιστέψει κανείς ότι δεν είναι δυνατό να λυθεί από Γεωμέτρη.
Δική μου λύση θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα, λαμβανομένης υπόψη και της ευκολίας λύσης της.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής.
Να κατασκευασθεί Τετράγωνο, με βάση μία Αρμονική Τετράδα Σημείων, που μας δίνεται, και αντίστροφα, να κατασκευαστεί μία Αρμονική Τετράδα Σημείων με βάση ένα Τετράγωνο, που μας δίνεται.

Σχόλια.
(α). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ το καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Η Κατασκευή προφανώς αποτελεί μία νέα λύση γνωστών μας Κατασκευών, αλλά και της Κατασκευής (συνημμένο μου ).


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΝΕΑ ΠΟΛΥ ΕΥΚΟΛΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ ΑΠΟ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΕΤΡΑΔΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί λύσεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Υπογραμμίζουμε εδώ, ότι με ανάλογους τρόπους έχουμε δόσει εύκολες και πρακτικές λύσεις κατασκευών σε Αρμονικές, Εξάδες, Οκτάδες, Δεκάδες, Δωδεκάδες, σημείων κτλ.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΝΕΑ ΕΥΚΟΛΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΕΞΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ.
Ορθοοπτικά Σημεία Αρμονικής Εξάδας Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις για την παρακάτω βοηθητική Πρόταση (λήμμα) Αρμονικής Συνευθειακής Εξάδας Σημείων, που είναι εύκολη Πρόταση, αλλά πολύ χρήσιμη, γιατί σε αυτή θα βασισθούν οι αποδείξεις πολλών άλλων Προτάσεων και Κατασκευών, που θα ακολουθήσουν.
Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η διατύπωση της Πρότασης αυτής έχει ως εξής.
. Δίνεται η διατεταγμένη Αρμονική Εξάδα Σημείων και ζητείται να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι διαμέτρων , συντρέχουν.

Σχόλια.
(α). Η παραπάνω Πρόταση πιστεύω ότι είναι νέα, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ την καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Η Πρόταση προφανώς αποτελεί επέκταση της Κατασκευής (συνημμένο μου ).
(γ). Σχετική ορολογία έχουμε αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μας .


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΝΕΑ ΕΥΚΟΛΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΕΞΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ.
Ορθοοπτικά Σημεία Αρμονικής Εξάδας Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις για την παρακάτω βοηθητική Πρόταση (λήμμα) Αρμονικής Συνευθειακής Εξάδας Σημείων, που είναι εύκολη Πρόταση, αλλά πολύ χρήσιμη, γιατί σε αυτή θα βασισθούν οι αποδείξεις πολλών άλλων Προτάσεων και Κατασκευών, που θα ακολουθήσουν.
Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η διατύπωση της Πρότασης αυτής έχει ως εξής.
. Δίνεται η διατεταγμένη Αρμονική Εξάδα Σημείων και ζητείται να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι διαμέτρων , συντρέχουν.

Σχόλια.
(α). Η παραπάνω Πρόταση πιστεύω ότι είναι νέα, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ την καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Η Πρόταση προφανώς αποτελεί επέκταση της Κατασκευής (συνημμένο μου ).
(γ). Σχετική ορολογία έχουμε αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μας .


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΝΕΑ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΕΞΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ.
Σημαντική Ιδιότητα Αρμονικής Εξάδας Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου της παραπάνω Πρότασης , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί αποδείξεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους, αποδείξεις-λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Aς σημειωθεί ότι, ανάλογες Προτάσεις (ιδιότητες) ισχύουν και για Αρμονικές Οκτάδες [Κατασκευή συνημμένο μου ], Δεκάδες, κτλ, Συνευθειακών Σημείων.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΝΕΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΕΞΑΠΛΕΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΕΞΑΔΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ.


Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα Κατασκευής Αρμονικής Συνευθειακής και Ομοκικλικής Τετράδας Σημείων (Αρμονικού Εξάπλευρου), που ομολογώ ότι είναι Πρόβλημα πολύ χρήσιμο γιατί σε αυτό θα βασισθούν άλλες Κατασκευές υψηλού επιπέδου.
Δική μου λύση θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής.
. Να κατασκευασθεί Αρμονικό Εξάπλευρο, με βάση μία Αρμονική Εξάδα Σημείων, που μας δίνεται, και αντίστροφα, να κατασκευαστεί μία Αρμονική Εξάδα Σημείων με βάση, ένα Αρμονικό Εξάπλευρο, που μας δίνεται.

Σχόλια.
(α). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ το καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Η Κατασκευή προφανώς αποτελεί έναν άλλο τρόπο κατασκευής του Προβλήματος (συνημμένο μου ).


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής