ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Έστω $\displaystyle{\alpha=(8^7- 9\cdot 8^6+9\cdot8^5- 9\cdot 8^4+9\cdot 8^3- 9\cdot 8^2+9\cdot 8- 1)^{1000}}$ και $\displaystyle{\beta=1024^{200}\cdot 625^{1000}}$ . Να συγκριθούν οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha^2}$ και $\displaystyle{\beta}$ .

2. Να αποδειχτεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{A=1^1+2^2+3^3+4^4+...+9^9+10^{10}}$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

3. Έστω τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ , $\displaystyle{\Delta}$ σημείο της $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{I}$ το μέσον της $\displaystyle{A\Delta}$ . Η $\displaystyle{BI}$ τέμνει την $\displaystyle{A\Gamma}$ στο $\displaystyle{E}$ και η $\displaystyle{\Gamma I}$ την $\displaystyle{AB}$ στο $\displaystyle{Z}$ .
Από το $\displaystyle{\Delta}$ φέρνουμε $\displaystyle{\Delta H//A\Gamma}$ ( $\displaystyle{H}$ σημείο της $\displaystyle{BI}$ ) και $\displaystyle{\Delta \Theta//AB}$ ( $\displaystyle{\Theta}$ σημείο της $\displaystyle{\Gamma I}$ ). Να δειχτεί ότι το $\displaystyle{EZH \Theta }$ είναι παραλληλόγραμμο.

4. Να χωρίσετε ένα τετράγωνο με πλευρά $\displaystyle{4}$ σε ορθογώνια παραλληλόγραμμα τα οποία να έχουν άθροισμα περιμέτρων $\displaystyle{25}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Έστω $\displaystyle{\alpha=(8^7-9\cdot 8^6+9\cdot8^5-9\cdot 8^4+9\cdot 8^3- 9\cdot 8^2+9\cdot 8- 1)^{1000}}$ και $\displaystyle{\beta=1024^{200}\cdot 625^{1000}}$ . Να συγκριθούν οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha^2}$ και $\displaystyle{\beta}$ .

εδώ (άσκηση 6)

parmenides51 έγραψε:2. Να αποδειχτεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{A=1^1+2^2+3^3+4^4+...+9^9+10^{10}}$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

εδώ

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:3. Έστω τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ , $\displaystyle{\Delta}$ σημείο της $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{I}$ το μέσον της $\displaystyle{A\Delta}$ . Η $\displaystyle{BI}$ τέμνει την $\displaystyle{A\Gamma}$ στο $\displaystyle{E}$ και η $\displaystyle{\Gamma I}$ την $\displaystyle{AB}$ στο $\displaystyle{Z}$ .
Από το $\displaystyle{\Delta}$ φέρνουμε $\displaystyle{\Delta H//A\Gamma}$ ( $\displaystyle{H}$ σημείο της $\displaystyle{BI}$ ) και $\displaystyle{\Delta \Theta//AB}$ ( $\displaystyle{\Theta}$ σημείο της $\displaystyle{\Gamma I}$ ). Να δειχτεί ότι το $\displaystyle{EZH \Theta }$ είναι παραλληλόγραμμο.

Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm Z}{\rm I}$ και $\Delta \Theta {\rm I}$ είναι ίσα γιατί έχουν ${\rm A}{\rm I} = {\rm I}\Delta$ ( ${\rm I}$ μέσο της ${\rm A}\Delta$ ), $\widehat{{\rm Z}{\rm I}{\rm A}} = \widehat{\Delta {\rm I}\Theta }$ (κατακορυφήν) και $\widehat{{\rm Z}{\rm A}{\rm I}} = \widehat{{\rm I}\Delta \Theta }$ (εντός εναλλάξ).

Έτσι ${\rm Z}{\rm I} = {\rm I}\Theta$ (1)

Τα τρίγωνα ${\rm H}{\rm I}\Delta$ και ${\rm A}{\rm I}{\rm E}$ είναι ίσα γιατί έχουν ${\rm A}{\rm I} = {\rm I}\Delta$ ( ${\rm I}$ μέσο της ${\rm A}\Delta$ ), $\widehat{{\rm H}{\rm I}\Delta } = \widehat{{\rm A}{\rm I}{\rm E}}$ (κατακορυφήν) και $\widehat{{\rm H}\Delta {\rm I}} = \widehat{{\rm I}{\rm A}{\rm E}}$ (εντός εναλλάξ).

Έτσι ${\rm I}{\rm H} = {\rm I}{\rm E}$ (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο ${\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta$ είναι παραλληλόγραμμο αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται.

#4

parmenides51 έγραψε: 4. Να χωρίσετε ένα τετράγωνο με πλευρά $\displaystyle{4}$ σε ορθογώνια παραλληλόγραμμα τα οποία να έχουν άθροισμα περιμέτρων $\displaystyle{25}$ .

Το χωρίζω αρχικά σε δύο ορθογώνια ένα με διαστάσεις $3.5 \times 4$ και ένα με διαστάσεις $0.5 \times 4$ . Ακολούθως χωρίζω το δεύτερο σε δύο ορθογώνια με διαστάσεις $0.5 \times 2$ το κάθε ένα. Το άθροισμα των περιμέτρων των τριών αυτών ορθογωνίων ισούται με $\displaystyle{ 2((3.5 + 4) + 2(0.5+2)] = 25}$ όπως θέλαμε.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση