1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985! (Α' Λυκείου)

#1

ΘΕΜΑΤΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

1ο: Να βρεθούν όλα τα τόξα $\displaystyle{\theta }$ για τα οποία $\displaystyle{\frac{1}{\sin ^2 \theta},~ \frac{1}{\cos ^2 \theta}}$ είναι ακέραιοι αριθμοί και ρίζες της εξίσωσης

$\displaystyle{x^2-ax+a=0.}$

2ο:
a) Να δείξετε ότι ένα κυρτό ν-γωνο δε μπορεί να έχει περισσότερες από τρεις εσωτερικές γωνίες οξείες.
b) Να δείξετε ότι ένα κυρτό ν-γωνο που έχει τρεις εσωτερικές γωνίες ίσες με $\displaystyle{60^0,}$ είναι ισόπλευρο τρίγωνο.

3ο: Στο εσωτερικό μιας λίμνης υπάρχουν δύο σημεία $\displaystyle{A,B}$ από τα οποία μπορούμε να δούμε κάθε άλλο σημείο της λίμνης. Να δείξετε ότι και από κάθε άλλο σημείο του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{AB}$ μπορούμε να δούμε όλα τα σημεία της λίμνης.

4ο:

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ με

$\displaystyle{f(x)=\frac{4^x}{4^x+2},}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

a) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)+f(1-x)=1,}$
b) Να υπολογίσετε το άθροισμα:

$\displaystyle{f\left(\frac{1}{1986} \right)+f\left(\frac{2}{1986} \right)+\cdots f\left(\frac{1986}{1986} \right).}$

#2

Θέμα 3ο :

Έστω ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει, δηλαδή υπάρχει εσωτερικό σημείο $\displaystyle{\Gamma }$ του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ και σημείο $\displaystyle{\Delta }$ της λίμνης, το οποίο δεν είναι ορατό από το $\displaystyle{\Gamma }$ . Τα σημεία $\displaystyle{\Delta ,{\rm A},{\rm B}}$ είναι τότε κορυφές τριγώνου. Εφόσον το $\displaystyle{\Delta }$ δεν είναι ορατό από το $\displaystyle{\Gamma }$ , θα υπάρχει εσωτερικό σημείο $\displaystyle{{\rm E}}$ του τμήματος $\displaystyle{\Gamma \Delta }$ στο οποίο βρίσκεται εμπόδιο οράσεως. Αν φέρουμε την ευθεία $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$ , αυτή θα τέμνει την πλευρά $\displaystyle{\Delta {\rm B}}$ σε εσωτερικό της σημείο $\displaystyle{{\rm Z}}$ (αυτό δεν είναι καθόλου προφανές: πρόκειται για το λεγόμενο αξίωμα του Pasch). Αλλά τότε το σημείο $\displaystyle{{\rm Z}}$ δε θα είναι ορατό από το $\displaystyle{{\rm A}}$ , πράγμα άτοπο. Ώστε, κάθε σημείο της λίμνης είναι ορατό από κάθε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ .

KARKAR · #3

Για το

βλέπε εδώ

#4

Για το 1)

Έστωσαν $\displaystyle{m,n}$ θετικοί ακέραιοι με $\displaystyle{m=\frac {1}{sin^2 \theta}}$ και $\displaystyle{n=\frac {1}{cos^2 \theta}}$

Τότε $\displaystyle{m+n=a \wedge mn=a \Rightarrow m+n=mn \Rightarrow m(n-1)=n \Rightarrow n-1 | n \Rightarrow n-1| (n-1)+1}$

$\displaystyle{\Rightarrow n-1|1 \Rightarrow n-1=\pm1 \Rightarrow n=2}$

Άρα $\displaystyle{\frac {1}{sin^2 \theta}=\frac {1}{sin^2 \theta}=2 \Rightarrow cos^2 \theta=sin^2 \theta = \frac {1}{2} \Rightarrow ...}$

parmenides51 · #5

Για το 4ο κι εδώ

orestisgotsis · #6

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #7

ΠΕΡΙΤΤΑ

parmenides51 · #8

matha έγραψε:2ο:
a) Να δείξετε ότι ένα κυρτό ν-γωνο δε μπορεί να έχει περισσότερες από τρεις εσωτερικές γωνίες οξείες.
b) Να δείξετε ότι ένα κυρτό ν-γωνο που έχει τρεις εσωτερικές γωνίες ίσες με $\displaystyle{60^0,}$ είναι ισόπλευρο τρίγωνο.

b) εδώ

parmenides51 · #9

matha έγραψε:3ο: Στο εσωτερικό μιας λίμνης υπάρχουν δύο σημεία $\displaystyle{A,B}$ από τα οποία μπορούμε να δούμε κάθε άλλο σημείο της λίμνης. Να δείξετε ότι και από κάθε άλλο σημείο του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{AB}$ μπορούμε να δούμε όλα τα σημεία της λίμνης.

: 1i emo 1985 al.PNG (5.26 KiB) Προβλήθηκε 1397 φορές

emouroukos έγραψε: Έστω ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει, δηλαδή υπάρχει εσωτερικό σημείο $\displaystyle{\Gamma }$ του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ και σημείο $\displaystyle{\Delta }$ της λίμνης, το οποίο δεν είναι ορατό από το $\displaystyle{\Gamma }$ . Τα σημεία $\displaystyle{\Delta ,{\rm A},{\rm B}}$ είναι τότε κορυφές τριγώνου. Εφόσον το $\displaystyle{\Delta }$ δεν είναι ορατό από το $\displaystyle{\Gamma }$ , θα υπάρχει εσωτερικό σημείο $\displaystyle{{\rm E}}$ του τμήματος $\displaystyle{\Gamma \Delta }$ στο οποίο βρίσκεται εμπόδιο οράσεως. Αν φέρουμε την ευθεία $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$ , αυτή θα τέμνει την πλευρά $\displaystyle{\Delta {\rm B}}$ σε εσωτερικό της σημείο $\displaystyle{{\rm Z}}$ (αυτό δεν είναι καθόλου προφανές: πρόκειται για το λεγόμενο αξίωμα του Pasch). Αλλά τότε το σημείο $\displaystyle{{\rm Z}}$ δε θα είναι ορατό από το $\displaystyle{{\rm A}}$ , πράγμα άτοπο. Ώστε, κάθε σημείο της λίμνης είναι ορατό από κάθε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ .

1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985! (Α' Λυκείου)

1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985! (Α' Λυκείου)

Re: 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985! (Α' Λυκείου)

Re: 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985! (Α' Λυκείου)

Re: 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985! (Α' Λυκείου)

Re: 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985! (Α' Λυκείου)

Re: 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985! (Α' Λυκείου)

Re: 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985! (Α' Λυκείου)

Re: 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985! (Α' Λυκείου)

Re: 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985! (Α' Λυκείου)

Μέλη σε σύνδεση