ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Αν $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{x}$ πραγματικοί με $\displaystyle{\alpha \ge { \color{red}1}}$ , να δειχτεί ότι $\displaystyle{\frac{{{x}^{2}}+\alpha }{\sqrt{{{x}^{2}}+\alpha -1}}\ge 2}$ . Πότε ισχύει η ισότητα;

2. Θεωρούμε $\displaystyle{100}$ αριθμούς $\displaystyle{\alpha_1 , \alpha_2 , ... , \alpha_{100}}$ από τους οποίους οι $\displaystyle{40}$ είναι ίσοι με $\displaystyle{1}$ και οι $\displaystyle{60}$ με $\displaystyle{2}$ και τους τοποθετούμε πάνω σε ένα κύκλο έτσι, ώστε να μην υπάρχουν τρεις ίσοι αριθμοί σε διαδοχικές θέσεις. Σχηματίζονται έτσι $\displaystyle{100}$ τριάδες $\displaystyle{T_i , i = 1 , 2, ..., 100}$ , αριθμών σε διαδοχικές θέσεις πάνω στον κύκλο. Έστω $\displaystyle{P_i}$ είναι το γινόμενο και $\displaystyle{S_i}$ είναι το άθροισμα των τριών αριθμών της τριάδας $\displaystyle{T_i , i = 1, 2, ..., 100}$ .
Να δειχτεί ότι:
α) $\displaystyle{P_i = 2S_i − 6}$ , για κάθε $\displaystyle{i = 1, 2, ..., 100}$ .
β) $\displaystyle{P_1 + P_2 + P_3 +...+ P_{100} = 360}$ .

3. α) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{x^4+4y^4}$ .
β) Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ είναι θετικοί ακέραιοι με $\displaystyle{y\ge 2}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{x^4+4y^4}$ είναι σύνθετος.

4. Θεωρούμε τις κάθετες ημιευθείες $\displaystyle{Ot, Os}$ , το σημείο $\displaystyle{A}$ της $\displaystyle{Ot}$ με $\displaystyle{OA = x}$ και το σημείο $\displaystyle{B}$ της $\displaystyle{Os}$ με $\displaystyle{OB = y}$ και $\displaystyle{y < x}$ . Κατασκευάζουμε το τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ μέσα στη γωνία $\displaystyle{\widehat{tOs}}$ . Από την κορυφή $\displaystyle{\Delta}$ φέρνουμε ευθεία $\displaystyle{\varepsilon}$ κάθετη στη διχοτόμο $\displaystyle{O\delta}$ της γωνίας $\displaystyle{\widehat{tOs}}$ η οποία τέμνει την $\displaystyle{Os}$ στο $\displaystyle{E}$ και την $\displaystyle{Ot}$ στο $\displaystyle{Z}$ .
Να δειχτεί ότι:
α) $\displaystyle{AZ = x + y}$ και $\displaystyle{BE = 2x}$ .
β) Το τρίγωνο $\displaystyle{B\Gamma E}$ είναι ισοσκελές.

edit
διόρθωση στο 1ο, ευχαριστώ τον Σωτήρη Χασάπη που το πρόσεξε

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{x}$ πραγματικοί με $\displaystyle{\alpha \ge { \color{red}1}}$ , να δειχτεί ότι $\displaystyle{\frac{{{x}^{2}}+\alpha }{\sqrt{{{x}^{2}}+\alpha -1}}\ge 2}$ . Πότε ισχύει η ισότητα;

η ιδέα εδώ και η συνέχεια εδώ (άσκηση 36)

parmenides51 έγραψε:3. α) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{x^4+4y^4}$ .
β) Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ είναι θετικοί ακέραιοι με $\displaystyle{y\ge 2}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{x^4+4y^4}$ είναι σύνθετος.

εδώ (άσκηση 35)

edit
μεταφορά της παραπάνω διόρθωσης στο 1ο

#3

parmenides51 έγραψε: 2. Θεωρούμε $\displaystyle{100}$ αριθμούς $\displaystyle{\alpha_1 , \alpha_2 , ... , \alpha_{100}}$ από τους οποίους οι $\displaystyle{40}$ είναι ίσοι με $\displaystyle{1}$ και οι $\displaystyle{60}$ με $\displaystyle{2}$ και τους τοποθετούμε πάνω σε ένα κύκλο έτσι, ώστε να μην υπάρχουν τρεις ίσοι αριθμοί σε διαδοχικές θέσεις. Σχηματίζονται έτσι $\displaystyle{100}$ τριάδες $\displaystyle{T_i , i = 1 , 2, ..., 100}$ , αριθμών σε διαδοχικές θέσεις πάνω στον κύκλο. Έστω $\displaystyle{P_i}$ είναι το γινόμενο και $\displaystyle{S_i}$ είναι το άθροισμα των τριών αριθμών της τριάδας $\displaystyle{T_i , i = 1, 2, ..., 100}$ .
Να δειχτεί ότι:
α) $\displaystyle{P_i = 2S_i − 6}$ , για κάθε $\displaystyle{i = 1, 2, ..., 100}$ .
β) $\displaystyle{P_1 + P_2 + P_3 +...+ P_{100} = 360}$ .

Αχ! Γιατί σ' αυτήν την τόσο όμορφη άσκηση να δοθεί το υποερώτημα (α). Χαλάει τελείως την ομορφιά της και την κάνει σχεδόν τετριμμένη.

Για κάθε

, είτε το

έχει δύο άσσους και ένα δυάρι οπότε P_i = 2,S_i=4

και άρα

είτε έχει δύο δυάρια και ένα άσσο οπότε P_i=4,S_i=5

οπότε

. Σε κάθε περίπτωση ισχύει η ζητούμενη ισότητα.

Για το (β) έχουμε $P_1 + \cdots + P_{100} = 2(S_1 + \cdots + S_{100}) - 600$ . Όμως στο άθροισμα $S_1 + \cdots + S_{100}$ κάθε ένας από τους αριθμούς προστίθεται τρεις φορές αφού ανήκει σε ακριβώς τρία T_i

. Άρα $S_1 + \cdots + S_{100} = 3(40 \cdot 1 + 60 \cdot 2) = 480$ . Οπότε $P_1 + \cdots + P_{100} = 960-600 = 360$ .

hlkampel · #4

parmenides51 έγραψε:4. Θεωρούμε τις κάθετες ημιευθείες $\displaystyle{Ot, Os}$ , το σημείο $\displaystyle{A}$ της $\displaystyle{Ot}$ με $\displaystyle{OA = x}$ και το σημείο $\displaystyle{B}$ της $\displaystyle{Os}$ με $\displaystyle{OB = y}$ και $\displaystyle{y < x}$ . Κατασκευάζουμε το τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ μέσα στη γωνία $\displaystyle{\widehat{tOs}}$ . Από την κορυφή $\displaystyle{\Delta}$ φέρνουμε ευθεία $\displaystyle{\varepsilon}$ κάθετη στη διχοτόμο $\displaystyle{O\delta}$ της γωνίας $\displaystyle{\widehat{tOs}}$ η οποία τέμνει την $\displaystyle{Os}$ στο $\displaystyle{E}$ και την $\displaystyle{Ot}$ στο $\displaystyle{Z}$ .
Να δειχτεί ότι:
α) $\displaystyle{AZ = x + y}$ και $\displaystyle{BE = 2x}$ .
β) Το τρίγωνο $\displaystyle{B\Gamma E}$ είναι ισοσκελές.

α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm Z}{\rm O}{\rm E}$ η ${\rm O}{\rm K}$ είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε είναι και ισοσκελές, έτσι ${\rm O}{\rm Z} = {\rm O}{\rm E}$ και $\displaystyle{\widehat{\rm E} = \widehat{\rm Z} = 45^\circ }$ .

Φέρνω $\Delta {\rm H} \bot {\rm A}{\rm Z}$ , οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα $\Delta {\rm H}{\rm A}$ και ${\rm A}{\rm O}{\rm B}$ είναι ίσα γιατί έχουν:

${\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Delta$ (πλευρές τετράγωνου) και $\widehat{\Delta {\rm A}{\rm H}} = \widehat{{\rm O}{\rm B}{\rm A}}$ (οξείες με κάθετες πλευρές)

Άρα ${\rm A}{\rm H} = {\rm O}{\rm B} = y$ (1) και $\Delta {\rm H} = {\rm O}{\rm A} = x$ (2)

Το ορθ. τρίγωνο $\Delta {\rm H}{\rm Z}$ είναι ισοσκελές αφού $\displaystyle{\widehat{\rm E}= 45^\circ }$ , έτσι ${\rm H}{\rm Z} = \Delta {\rm H} = x$ .

Οπότε: ${\rm A}{\rm Z} = {\rm A}{\rm H} + {\rm H}{\rm Z} \Rightarrow {\rm A}{\rm Z} = x + y$ και

${\rm O}{\rm E} = {\rm O}{\rm Z} \Rightarrow {\rm B}{\rm E} + y = 2x + y \Rightarrow {\rm B}{\rm E} = 2x$ .

β) Αν ${\rm M}$ είναι το μέσο του ${\rm B}{\rm E}$ , τότε τα τρίγωνα $\Gamma {\rm M}{\rm B}$ και ${\rm O}{\rm A}{\rm B}$ είναι ίσα γιατί έχουν ${\rm B}{\rm M} = {\rm O}{\rm A} = x$ , ${\rm B}\Gamma = {\rm A}{\rm B}$ (πλευρές τετραγώνου)

και $\widehat{{\rm M}{\rm B}\Gamma } = \widehat{{\rm B}{\rm A}{\rm O}}$ ως συμπληρωματικές της $\widehat{{\rm O}{\rm B}{\rm A}}$ .

Οπότε $\widehat{\Gamma {\rm M}{\rm B}} = \widehat{\rm O} = 90^\circ$ , δηλαδή το τρίγωνο ${\rm B}\Gamma {\rm E}$ είναι ισοσκελές αφού η $\Gamma {\rm M}$ είναι διάμεσος και ύψος.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση